1r ciclo Campo magnético en el eje de una espira helicoidal (problema)

[vpleader]

¡Saludos, amantes de la Física!

Tengo una duda con un problema, o más que duda, que mi resultado (que creo correcto) no coincide con el del profesor (que es el que pone la nota). El problema dice así:

Halle el campo magnético producido en el centro de su eje por una espira helicoidal, recorrida por una intensidad I, de radio a, paso constante b, y número par de vueltas N.

He colocado los ejes y la espira como se muestra en el dibujo:



Uso las letras con prima para definir las fuentes del campo, y las sin prima para el punto donde quiero calcularlo.
El campo para una espira es:

$\dst\vec{B}=\frac{{\mu}_{ 0}I }{4\pi } {\int}_{L } \frac{\vec{dl'\wedge \vec{R} } }{{R}^{3} }$

Y tengo:

$\dst\vec{r}=0 \hat{\rho}+0\hat{z}$
$\dst\vec{r'}=a\hat{\rho}+z'\hat{z}$
$\dst\vec{R}=-a\hat{\rho}-z'\hat{z}$
$\dst R=\sqrt{{z'}^{2}+{a}^{2}}$
$\dst\vec{dl'}=ad\varphi' \hat{\varphi}+dz' \hat{z}$

Hago el producto vectorial:

$\dst\vec{dl'}\wedge \vec{R}=-az'd\varphi'\hat{\rho}-a dz' \hat{\varphi}+{a}^{2}d\varphi'\hat{z}$

Aquí mi profesor introduce un truco, creo que por corresponder cada lado de la siguiente igualdad a una vuelta completa de la espira:
$\dst\frac{dz'}{b }=\frac{d\varphi'}{2\pi }$

Y por tanto queda:
$\dst\vec{dl'}\wedge \vec{R}=\frac{-az'2\pi}{b } dz'\hat{\rho}-a dz' \hat{\varphi}+\frac{{a}^{2}2\pi}{b } dz'\hat{z}$

Sustituyendo en la expresión para el campo magnético queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La primera integral se anula, y me queda un campo en las direcciones $\hat{\varphi}$ y $\hat{z}$.

Sin embargo, y aquí está el problema, el resultado que da el profesor es:

$\dst\vec{B}= \frac{{\mu}_{ 0}I }{4\pi } {\int}_{-Nb/2 }^{Nb/2 } \frac{2\pi {a}^{2}}{b ({{z'}^{2 }+{a}^{2 } })^{3/2 } }dz' \hat{z}$
$\dst=\frac{{\mu}_{0}IN}{2 } \frac{1}{\sqrt{{a}^{2 }+({\frac{Nb}{2 } })^{2 } } }\hat{z}$

¿Sabéis dónde puede estar el fallo? ¿Me he equivocado yo o mi profesor?

[Al2000]

Re: Campo magnético en el eje de una espira helicoidal (problema)

Tienes una situación similar a la que preguntaste en tu otro hilo reciente. Recuerda que $\hat \rho$ y $\hat \varphi$ dependen de $\varphi$. En la primera y la segunda integral no parece tener importancia porque se está integrando en función de $z$, pero en verdad si importa porque $z$ y $\varphi$ están ligadas a la trayectoria de la hélice. Si integras la expresión que pusiste, $\dst \frac{dz'}{b}=\frac{d\varphi'}{2\pi}$, puedes obtener (poniendo la $z'$ inicial en cero) que $\dst z' = \frac b {2 \pi } \varphi'$. Habría que cambiar entonces las dos primeras integrales poniendo $\hat \rho = \cos \varphi \, \hat x + \, \mathrm {sen} \, \varphi \, \hat y,\,\, \hat \varphi = -\mathrm {sen} \, \varphi \, \hat x + \cos \varphi \, \hat y$ para poder resolver. Fíjate que el hecho de que la primera integral te de cero así como está expresada no significa nada; para evaluar esa integral debes expresar $\hat \rho$ como función de $z'$.

Cuando introduces la variación de los vectores unitarios con $z'$, las integrales asi como están planteadas no se pueden resolver (o es muy difícil). Habría que plantearlas en función de $\varphi'$ para resolverlas.

Saludos,

Al