Otras carreras Ley de Gauss (ejercicios)

[mfvcyo]

Tengan todos un buen dia, he estado estudiando algo acerca de la ley de Gauss y tratando de resolver algunos ejercicios, pero con estos dos no he podido, si alguien me puede ayudar con ellos le agradezco demasiado.


1.) En la figura se muestra un bloque-plano conductor muy grande y de espesor de d Está descargado y es paralelo a un plano infinito dieléctrico con carga uniformemente distribuida por unidad de área +\sigma .
A. Calcular el campo eléctrico E para las cuatro regiones en que se divide el espacio:
B. Explique cómo varían las respuestas anteriores si el conductor está cargado previamente.
Aquí esta la imagen de la figura:
https://docs.google.com/leaf?id=0B4l...Zjc4YWNi&hl=es

2.) En la figura se muestra la sección transversal de dos cascarones cilíndricos rectos muy largos, coaxiales y de radios a y R. Ambos tienen la misma densidad superficial de carga \sigma uniforme, el interno es negativo y el externo positivo. Calcular el campo eléctrico E para todas las regiones del espacio.
Aquí esta la imagen de la figura:
https://docs.google.com/leaf?id=0B4l...NzVmODYy&hl=es


Muchas gracias.

[anyel]

Re: Ley de Gauss (ejercicios)

-.- ...

[Al2000]

Re: Ley de Gauss (ejercicios)

1) Hay varias formas de resolverlo. Te ofrezco una y te debo los gráficos/esquemas. Usa el teorema de Gauss para hallar el campo de una distribución plana, uniforme y de extensión infinita de cargas. En cualquier libro de Física II conseguirás el cálculo detallado. En resumen se consigue que el campo vale $\sigma/2\epsilon_0$ a ambos lados del plano alejándose de él. Vectorialmente sería $\dst \boldsymbol E = \frac \sigma {2\epsilon_0}\,\boldsymbol u_n$, siendo $\boldsymbol u_n$ el vector unitario normal al plano.

Ahora aplica el resultado anterior y el principio de superposición para hallar el campo en cada región de tu problema. Empieza por reconocer que la lámina cargada polariza la lámina conductora haciendo que aparezcan cargas superficiales $\sigma_i$ y $\sigma_d$ en sus superficies izquierda y derecha. El campo en el interior de la lámina conductora debe ser nulo:

$$\frac \sigma {2\epsilon_0} + \frac {\sigma_i}{2\epsilon_0} - \frac {\sigma_d}{2\epsilon_0} = 0$$

Por condición del problema la lámina conductora está descargada:

$$\sigma_i + \sigma_d = 0$$

Resuelve (1) y (2) para conseguir que $\sigma_i = -\sigma/2$ y $\sigma_d = \sigma/2$. Con las densidades conocidas, calcula el campo en cada región (principio de superposición).

En el caso de que el conductor esté cargado previamente cambia la ecuación (2) para que tome en cuenta la carga del conductor. La puedes expresar de tres maneras, según te refieras a la carga total ($\sigma_i + \sigma_d = Q/A$), la densidad total ($\sigma_i + \sigma_d = \sigma_c$) o la densidad se cada superficie ($\sigma_i + \sigma_d = 2 \sigma_c$).

2) De nuevo hay varias formas. Podrías resolver previamente el cascarón cilíndrico y aplicar el principio de superposición o resolver directamente el problema por teorema de Gauss. Básicamente es el mismo trabajo.

Empieza por reconocer que la simetría exige que los campos sean radialmente uniformes. Usa una superficie gaussiana cilíndrica coaxial con las cáscaras cilíndricas y aplica el teorema de Gauss:

- Puntos interiores ($0 \leqslant r < a$): $\dst \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = 0 \quad \Rightarrow \quad E = 0$

- Puntos intermedios ($a < r < R$):

$$\begin{aligned}<br /> \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S &= \frac {-\sigma A_a}{\epsilon_0} \\<br /> -E \cdot 2 \pi r L &= \frac {-\sigma \cdot 2 \pi a L}{\epsilon_0} \\<br /> E &= \frac {\sigma a}{\epsilon_0 r}, \quad \text {radialmente hacia adentro} <br /> \end{aligned}<br />$$

- Puntos exteriores ($R < r < \infty$):

$$\begin{aligned}<br /> \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S &= \frac {-\sigma A_a + \sigma A_R}{\epsilon_0} \\<br /> E \cdot 2 \pi r L &= \frac {-\sigma \cdot 2 \pi a L + \sigma \cdot 2 \pi R L}{\epsilon_0} \\<br /> E &= \frac {\sigma (R-a)}{\epsilon_0 r}, \quad \text {radialmente hacia afuera} <br /> \end{aligned}<br />$$

En resumen, $\dst \boldsymbol E = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &\boldsymbol 0, & 0 \leqslant &r < a \\<br /> &-\frac {\sigma a}{\epsilon_0 r}\,\boldsymbol u_r, & a < &r < R \\<br /> &\frac {\sigma (R-a)}{\epsilon_0 r}\,\boldsymbol u_r, & R < &r < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$

Saludos,

Al