1r ciclo Ayuda tres esferas

[solucionando]

Alguien me puede ayudar con este problema:

Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1 , R2 y R3 (R1 < R2 < R3 )
están conectadas respectivamente a tres fuentes de potencial V1 , V2 y V3 . ¿Cuál es
la carga de cada una de las esferas?.

[Al2000]

Re: Ayuda tres esferas

Hay varias maneras de encarar el problema (Laplace, Gauss, condensadores). Déjame explicarte como resolverlo usando el teorema de Gauss. Olvídate un momento de tu problema y considera el mas sencillo en el cual sólo son dos esferas. La simetría del asunto te lleva a la conclusión de que, en el espacio comprendico entre las dos esferas, el campo debe ser radial uniforme. La aplicación del teorema de Gauss a una superficie esférica concéntrica y de radio $R_1 < r < R_2$ te lleva a:

$\dst \Phi_E = \oint_S \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac q {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2}\,,\,\, R_1 < r < R_2$

La diferencia de potencial entre las dos esferas se obtiene calculando la integral de línea del campo eléctrico:

$\dst V_2 - V_1 = - \int_{1}^{2}\!\! \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = - \int_{R_1}^{R_2}\!\! \left(\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2}\,\boldsymbol u_r\right) \boldsymbol \cdot (dr\, \boldsymbol u_r) = - \frac q {4 \pi \epsilon_0} \int_{R_1}^{R_2}\!\! \frac {dr}{r^2}$

Resolviendo y despejando $q$, obtienes que

$\dst q = 4 \pi \epsilon_0 \frac {R_1 R_2}{R_1-R_2} (V_2 - V_1)$

(básicamente lo que hemos hecho es calcular la carga del condensador esférico formado por la superficie externa de la esfera 1 y la interna de la esfera 2)

Esta $q$ determinada arriba es la carga en la superficie externa de la esfera 1. La carga en la superficie interna de la esfera 2 es la misma pero con signo opuesto.

La aplicación de este razonamiento a cada par de superficies en tu problema te lleva a la conclusión de que:

- Esfera 1: $\dst q_{1i} = 0, \quad q_{1e} = 4 \pi \epsilon_0 \frac {R_1 R_2}{R_1-R_2} (V_2 - V_1)$

- Esfera 2: $\dst q_{2i} = -q_{1e}, \quad q_{2e} = 4 \pi \epsilon_0 \frac {R_2 R_3}{R_2-R_3} (V_3 - V_2)$

- Esfera 3: $\dst q_{3i} = -q_{2e}, \quad q_{3e} = 4 \pi \epsilon_0 R_3 V_3$

La carga en la superficie interna de la primera esfera es cero por ser el interior de un conductor en equilibrio electrostático. Si quieres demostrarlo puedes usar el teorema de Gauss.

La carga en la superficie externa de la tercera esfera la obtienes a partir del potencial de un cascarón. También podrías imaginar que existe una cuarta cáscara de radio infinito y potencial cero y aplicar la fórmula usada para las otras superficies.

Finalmente, y si deseas la carga total de cada esfera, simplemente suma sus cargas en sus superficies interna y externa.

Saludos,

Al