1r ciclo Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

[Javi_VM]

Hola, quería plantearos un problema de electrostática y mis pensamientos sobre cómo resolverlo, ya que no estoy muy seguro de si es esta la manera correcta.

El problema dice así: "En el entro de una esfera dieléctica lineal, homogénea e isótropa de constante realtiva ${\varepsilon}_{r}$y de radio R, se sitúa un dipolo ideal de momento bipolar p, determinar el potencial tanto dentro como fuera de la esfera dieléctrica. "

Bien yo me he basado en el potencial de un dipolo ideal: ${\int}^{r } _{\infty } E\cdot dr =V=\frac{1}{4\pi \varepsilon }*\frac{pcos(\theta)}{ {r}^{2 } }$ adaptandolo al problema que nos ocupa, es decir:

fuera: $V= {\int}^{ r } _{\infty} E\cdot dr = \frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{0} }*\frac{pcos(\theta}{ {r}^{2 } }$

dentro parto la integral de infinito a R y de R a r y obtengo: $V=\frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{0} }*\frac{pcos(\theta)}{ {R}^{2 } }*(1-\frac{1}{{\varepsilon}_{0} } ) + \frac{1}{4\pi {\varepsilon}_{0}{\varepsilon}_{r} }*\frac{pcos(\theta)}{ {r}^{2 } }<br />$
¿Creen que el razonamiento es correcto?

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Yo usaría el principio de superposición: por un lado tenemos que el potencial debido al dipolo es el mismo tanto dentro como fuera de la esfera. Luego, calcula el campo que crea la esfera dieléctrica (tando dentro como fuera de ella) e integrando obtén el potencial que crea. Ahora, ya puedes sumarlos.

Nota: el potencial que crea una esfera uniforme en su exterior equivale al de un dipolo con su momento dipolar total situado en su centro.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Sí, pero, ¿cual debería ser la polarización de la esfera dieléctrica? En principio se supone que la esfera dieléctrica no esta polarizada. En todo caso, puedo imaginar que la esfera está polarizada debido al campo generado por el dipolo ideal situado en su centro, pero no sé cómo calcular eso.

¿Alguna idea al respecto?

Gracias de antemano.

[Al2000]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Por favor, todo el que lea esto siéntase en libertad de criticarlo, pues es la primera vez que analizo este problema y no se si estoy pasando algo por alto.

Estando inseguro de como afecta la esfera de dieléctrico el campo y el potencial del dipolo, empiezo mi análisis por lo básico, el campo de una carga puntual en el centro de una esfera dieléctrica de radio $R$ y permitividad relativa $\epsilon_r$. Usando el teorema de Gauss consigo que la magnitud del campo (radial) es

$$E_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> & \frac 1 {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0} \frac q {r^2}, & 0 \leqslant r& < R \\<br /> & \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2}, & R \leqslant r& < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

He mantenido la expresión $\epsilon_r \epsilon_0$ en lugar de simplemente $\epsilon$ para destacar la diferencia. Una gráfica ilustra claramente la discontinuidad en el campo producida por la carga superficial debida a la polarización del dieléctrico:



Integrando este campo, desde un punto infinitamente alejado hasta un punto a la distancia $r$ de la carga, obtengo para el potencial eléctrico

$$V_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> & \frac q {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0} \left(\frac {\epsilon_r - 1} R + \frac 1 r\right), & 0 \leqslant r& \leqslant R \\<br /> & \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r, & R \leqslant r& < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Este potencial se ve de esta manera:



Como puede observarse, el campo eléctrico (y en consecuencia el potencial) en puntos exteriores a la esfera dieléctrica es idéntico a la que se obtendría si esta no existiese. No así en el interior de la esfera, donde tanto el campo como el potencial se ven reducidos, como era de esperar.

Con el valor del potencial obtenido se puede calcular el potencial del dipolo con el método de siempre, sumar el potencial de sus dos cargas y aproximar para una separación de cargas muy pequeña. Está claro que en el exterior se conseguirá el mismo potencial del dipolo en el vacío

$$V_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {p \cos \theta }{r^2}, \quad R \leqslant r < \infty$$

En puntos interiores usamos el potencial recién calculado:

$$V_{(r)} = \frac q {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0}\left(\frac {\epsilon_r - 1} R + \frac 1 {r_1} - \frac {\epsilon_r - 1} R - \frac 1 {r_2}\right)$$

Cancelado los términos constantes y haciendo las aproximaciones $r_2 - r_1 \approx a \cos \theta,\,\,\, r_1 r_2 \approx r^2$, se llega a la expresión

$$V_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_r \epsilon_0} \frac {p \cos \theta }{r^2}, \quad 0 \leqslant r \leqslant R$$

Confieso que no me esperaba esta respuesta tan simple, por lo cual será bienvenida cualquier observación que indique que he cometido algún error.

Saludos,

Al

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Muy buen análisis Al2000. Solo hay una cosa que me preocupa. Hay una diferencia de potencial en r=R si te acercas por los r menores que R o por los r mayores que R. No debería ser continuo el potencial??? lo digo porque si no el campo electrico debería ser infinito en la superficie de la esfera, ¿no?

¡Esto del electromagnetismo me está volviendo loco!

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Evidentemente, el potencial ha de ser continuo. Buen apunte.

Te desarrollo el problema como te expuse un un mensaje anterior:

El dipolo (tomando la dirección del eje $OZ$ como la de $\vec{p}$) crea un campo (en coordenadas esféricas):

$$\dst \vec{E}_p=\frac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\left( 2\cos(\theta)\vec{u}_r + \sin(\theta)\vec{u}_\theta \right), \, \, \forall \vec{r}$$

Este campo polariza la esfera. Veamos cómo es el vector polarización y, para ello, usamos la ley de Gauss:

$$\dst \oint_S \vec{D}\cdot \dd \vec{S}=q_{int}$$

Al no haber carga libre distribuida en el problema:

$$\dst \vec{D}=\vec{0}, \, \forall \vec{r}$$

Y, por la definición de vector desplazamiento eléctrico:

$$\dst \vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\vec{0}$$

tenemos que el campo eléctrico en el interior de la esfera es:

$$\dst \vec{E}=-\frac{1}{\epsilon_0}\vec{P}$$

La polarización de la esfera se debe al campo externo (ejercido por el dipolo):

$$\dst \vec{P}=\epsilon_0 \chi\vec{E}_p=\epsilon_0 (\epsilon_r-1)\vec{E}_p, \, \, r<R$$

Fuera de la esfera, evidentemente,

$$\vec{P}=\vec{0}, \, \, r>R$$

al estar al vacío.

Así, el campo debido a la esfera es:

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Resumiendo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Integrando, obtenemos el potencial:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como ves, para $r=R$ el potencial es continuo (y nulo).

Repasamos lo que sucede: como la carga libre total del problema es nula, el vector desplazamiento ha de ser nulo en todo el espacio (ley de Gauss). El dipolo crea un campo que polariza a la esfera creando ésta un campo eléctrico que compense al creado por el dipolo de modo que se cumpla la ley de Gauss (que el vector desplazamiento es nulo en todo el espacio). A partir de las leyes constitutivas y de la definición del vector desplazamiento podemos ir hallando los campos en cada región (tanto el total como los creado por dipolo y esfera). Al fin, integrando obtenemos el potencial.

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Es análisis del bueno de Al no tiene sentido, pues no hay carga alguna en el centro de la esfera. El dipolo tiene carga neta nula. Por lo que no aplica bien la ley de Gauss desde el principio y se obtienen cosas tan absurdas como distribuciones de carga libre superficiales sobre un esfera dieléctrica.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Muchas gracias, polonio, ¡tu texto me es de gran ayuda! Ahora lo entiendo todo mejor. Al fin y al cabo todo es aplicar la ley de Gauss, ¡pero a veces se hace tan lioso! Ahora ya todo cuadra.

Espero poder devolverte la ayuda.

Gracias a ti también, Al200, aunque la respuesta no fuera acertada xD

Espero poder ayudar en los post y colaborar con esta Comunidad.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

El efecto que se muestra me recuerda al de la jaula de Faraday. Tiene esto algo que ver??? son los conductores a las cargas lo que los dieléctricos al momento dipolar o algo asi?

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

El efecto que se muestra me recuerda al de la jaula de Faraday. Tiene esto algo que ver??? son los conductores a las cargas lo que los dieléctricos al momento dipolar o algo asi?

Hay gran diferencia... pero algo así: un conductor tiene cargas móviles y para que haya equilibrio electrostático el campo en el seno del material ha de ser nulo. Al aplicar la ley de Gauss obtenemos varias consecuencias: distribución de cargas únicamente sobre las superficies (de forma que se anula el campo interno), jaula de Faraday, campo sobre la superficie normal a ésta,... Sin embargo, un dieléctrico no tiene cargas libres y se puede considerar una distribución continua de dipolos a los que se les orienta con mayor o menos facilidad (según la susceptibilidad eléctrica) apareciendo un campo en sentido opuesto al campo externo y este campo sumado al campo externo no se anula, como hemos visto.

Me alegro de que sirva la explicación (a ti y a todos lo que la lean). Para eso estamos

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Me acaba de surgir una duda, Polonio.... verás, se supone que la componente tangencial del campo eléctrico debe ser la misma en la interfase por un lado que por el otro, pero aqui eso no es cierto....¿no?

alguna idea al respecto?

[Al2000]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

polonio, lo que hiciste está mal. A mi me apena no haberme percatado de la discontinuidad en el potencial, que si lo hago remato el mensaje de otra manera, pero tu no pareces haber caído en cuenta de que no es posible que la esfera de dieléctrico anule el campo en todo punto externo a la esfera (ese honor le correspondería únicamente a una cáscara conductora). Tu pecado original es haber aplicado el teorema de Gauss al dipolo como si fuera una distribución de carga con simetría esférica, único caso en el cual carga neta nula implica campo nulo (si así fuese el caso, entonces un dipolo eléctrico en el vacío no produciría campo alguno).

Lamentablemente aún no puedo sostener mis afirmaciones con ecuaciones ni es probable que lo pueda hacer en días próximos, pues por aquí el clima ha estado un tanto agresivo y nos tiene pegando brincos para protegernos de las inundaciones, que se producen ahora con inusual frecuencia debido al exceso de lluvias y el urbanismo que ha crecido descontroladamente en mi zona de la ciudad.

Saludos,

Al

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

polonio, lo que hiciste está mal. A mi me apena no haberme percatado de la discontinuidad en el potencial, que si lo hago remato el mensaje de otra manera, pero tu no pareces haber caído en cuenta de que no es posible que la esfera de dieléctrico anule el campo en todo punto externo a la esfera (ese honor le correspondería únicamente a una cáscara conductora). Tu pecado original es haber aplicado el teorema de Gauss al dipolo como si fuera una distribución de carga con simetría esférica, único caso en el cual carga neta nula implica campo nulo (si así fuese el caso, entonces un dipolo eléctrico en el vacío no produciría campo alguno).

Lo siento, pero un dieléctrico sí puede anular al campo en ciertas regiones del espacio: siempre que no haya carga libre en todo el sistema (y en este problema es así) no hay vector desplazamiento eléctrico. Por otra parte lo de la cáscara conductora esférica tampoco es cierto (sólo si la cáscara está a tierra o posee la misma carga que la encerrada pero con signo opuesto anula el campo fuera). Y la ley de Gauss (que, además, eso es una ley no un teorema) es cierta para cualquier distribución de carga libre y para cualquier superficie cerrada tenga el campo y la distribución de carga la simetría que tenga (otra cosa es que sirva de herramienta para calcular el campo eléctrico porque el campo no vale lo mismo en todos los puntos de una superficie dada). Yo nunca he aplicado la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico ni he supuesto que el dipolo tenga simetría esférica, ¿dónde he tomado simetría esférica para el campo del dipolo?

EDITO: ya veo lo que Al quiere decirme: es cierto, lo que obtengo es que el vector desplazamiento eléctrico es soleniodal: no nulo. He tomado, no simetría esférica, pero sí la suposición errónea de que el campo tiene flujo positivo.

Por otra parte, Al, es una auténtica barbaridad es que obtengas un distribución de carga libre sobre la superficie del dieléctrico (o en su volumen).

Lo que sí tengo que corregir es que me ha faltado sumar bien el campo del dipolo y el de la esfera como bien se ha dado cuenta Javi.

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Me acaba de surgir una duda, Polonio.... verás, se supone que la componente tangencial del campo eléctrico debe ser la misma en la interfase por un lado que por el otro, pero aqui eso no es cierto....¿no?

alguna idea al respecto?

Efectivamente, me he equivocado al calcular el campo de la esfera... Mañana lo corrijo.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Estoy intentando hacerlo yo solo pero aún tengo dudas. Creo que son más bien teóricas, pero estoy consultando en libros y en los apuntes y en ningún sitio se especifica claramente. A ver, cuando tomamos la fórmula: $\dst \vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\vec{0}$ , esto se refiere al campo eléctrico total y la polarización de la esfera, al campo electrico total y la polarización de la esfera más la del dipolo (aunque esta nos sabría calcularla porque al ser ideal el volumen...no sé como iría), al campo electrico de la esfera y a su polarización, ¿o como?