Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Estoy intentando hacerlo yo solo pero aún tengo dudas. Creo que son más bien teóricas, pero estoy consultando en libros y en los apuntes y en ningún sitio se especifica claramente. A ver, cuando tomamos la fórmula: $\dst \vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}=\vec{0}$ , esto se refiere al campo eléctrico total y la polarización de la esfera, al campo electrico total y la polarización de la esfera más la del dipolo (aunque esta nos sabría calcularla porque al ser ideal el volumen...no sé como iría), al campo electrico de la esfera y a su polarización, ¿o como?

Bueno, ayer tuve una metedura de pata bestial: las líneas de campo son de flujo conservativo, esto es, $\dst \oint_S \vec{D}\cdot \dd \vec{S}=q_{int}=0$ y, por tanto $\dst \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=0$ y la componente normal es continua sobre la superficie de la esfera, pero no tiene por qué ser nulo.

Lo que tenemos que hacer, entonces, es usar el principio de superposición como dije en mi primer mensaje del hilo.

También podemos usar la ecuación de Laplace para el potencial y usar las condiciones de contorno: continuo en la superficie de la esfera y comportándose como el producido por la suma de dos dipolos en el centro (el que me dan y otro con el momento dipolar total de la esfera).

Voy a hacer los cálculos.

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Bueno, vamos al lío...

Para empezar, si lo hacemos por el principio de superposición con los campos la cosa se complica (ya que, como muy bien vio Al, el vector desplazamiento no es nulo): al usar $\dst \vec{D}=\epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}$, la polarización $\dst \vec{P}=\epsilon_0 (\epsilon_r-1)\vec{E}$ se debe en principio al campo externo (que es el producido por el dipolo en el origen), pero este campo se ve modificado por el campo que ejerce la nueva polarización de la esfera, que a su vez vuelve a afectar a la nueva polarización... y así sucesivamente. Esto da lugar a una serie de potencias que resulta ser geométrica y converge para obtener la polarización en función del campo inicial creado por el dipolo. ¡Esto es de locos! (resultaría sencillo si en campo inicial fuera uniforme y no el del dipolo).

Por tanto, vamos a tomar un camino menos intuitivo (más matemático) pero más seguro: solucionar el problema del potencial. Sabemos un par de cosas:

-Como no hay cargas libres, el potencial cumple la ec. de Lapalce: $\dst \nabla^2 V=0$

-Fuera de la esfera el sistema se comporta como un dipolo situado en el origen (con momento suma del que nos dan originalmente en el centro de la esfera más el propio de la esfera debido a su polarización).

De lo primero se obtiene (usando coordenadas esféricas, ya que tenemos una esfera dieléctrica) una solución en forma de polinomios de Legendre:

$$\dst V(r,\theta)=\sum_{n = 0}^\infty a_n r^n P_n(\cos \theta)+\sum_{n = 0}^\infty b_n \frac{P_n(\cos\theta)}{r^{n+1}}$$

En nuestro problema por razones de convergencia y despreciando términos pequeños nos queda en el interior de la esfera de la forma:

$$\dst V(r,\theta)=A r \cos \theta+\frac{B}{r^2}\cos\theta, \; r\leqslant R$$

Para el exterior, como es de forma dipolar:

$$\dst V(r,\theta)=C\frac{p \cos\theta}{r^2}, \; r\geqslant R$$

Al tener un dipolo puntual en el origen:

$$\dst B=\frac{p}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r}$$

Nos queda, entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Al ser el potencial continuo, sobre la superficie de la esfera obtenemos:

$$\dst V(R^-,\theta)=\dst V(R^+,\theta)$$

$$\dst A R +\frac{p}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r} = C\frac{p}{R^2}$$

Al no haber carga libre sobre la superficie de la esfera, la componente normal
(radial) del vector desplazamiento es continua:

$$\dst D_r (R^-)=D_r (R^+)$$

$$\dst -\epsilon_0 \epsilon_r \frac{\partial V}{\partial r} (r=R^-)= -\epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial r} (r=R^+)$$

$$\dst \epsilon_r \left( A - \frac{2p}{4 \pi \epsilon_o \epsilon_r R^3} \right) =-2C\frac{p}{R^3}$$

De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos las constantes y tenemos el potencial en todos los puntos del espacio:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Si queremos los campos $\vec{D}$, $\vec{E}$ y $\vec{P}$ los podemos calcular a partir del potencial y de las ecuaciones constitutivas.

¡No era tan fácil como parecía!

(Y gracias de nuevo a Al y a Javi por ver los fallos).

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Muchas gracias Polonio. Parece que ya empieza a esclacerse el problema. Pero hay cosas que aún no me quedan claras
A ver, lo de la ecuación de Laplace y tal bien. Donde me pierdo un poco es en lo de "En nuestro problema por razones de convergencia y despreciando términos pequeños nos queda en el interior de la esfera de la forma:". ¿Por qué esos términos y no por ejemplo le de $\frac{b_0}{ r}$ o el $A_0$? Los demás como podemos asegurar que son suficientemente pequeños? Porque hay cosenos al cubo y tal pero el coseno puede ir desde -1 hasta +1 en nuestro problema, así que... De todas formas puedo entender que buscamos la solución más sencilla, y de momento buscamos una que no involucre toda la suma (así nos ha enseñado el profesor de Electromagnetismo a hacerlo, primero buscamos sin la suma y si no es posible hacemos la combinación lineal).

Hay alguna razón por la que el campo de una esfera dieléctrica pueda considerarse como si fuera un dipolo en el centro o es algo intuitivo? no dependería de la forma del vector P?

Muchas gracias

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Por cierto, Polonio, acabo de ver que parece que falta un $4\pi \varepsilon_0$ en el potencial, ¿no?

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Tengo que acabar de hacer los cálculos bien y tal, pero creo que ya me sale. Esta tarde cuando lo tenga lo pongo.

¡Muchas gracias!

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Por cierto, Polonio, acabo de ver que parece que falta un $4\pi \varepsilon_0$ en el potencial, ¿no?

¡Corregido!

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Polonio, creo que hay algún error en los cálculos. El potencial no sale igual cuando $r=R$. Yo lo he hecho "a mi manera", y me da lo siguiente:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora pongo otro post explicando el proceso que he seguido, que es muy parecido al de Polonio.

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Muchas gracias Polonio. Parece que ya empieza a esclacerse el problema. Pero hay cosas que aún no me quedan claras
A ver, lo de la ecuación de Laplace y tal bien. Donde me pierdo un poco es en lo de "En nuestro problema por razones de convergencia y despreciando términos pequeños nos queda en el interior de la esfera de la forma:". ¿Por qué esos términos y no por ejemplo le de $\frac{b_0}{ r}$ o el $A_0$? Los demás como podemos asegurar que son suficientemente pequeños? Porque hay cosenos al cubo y tal pero el coseno puede ir desde -1 hasta +1 en nuestro problema, así que... De todas formas puedo entender que buscamos la solución más sencilla, y de momento buscamos una que no involucre toda la suma (así nos ha enseñado el profesor de Electromagnetismo a hacerlo, primero buscamos sin la suma y si no es posible hacemos la combinación lineal).

Hay alguna razón por la que el campo de una esfera dieléctrica pueda considerarse como si fuera un dipolo en el centro o es algo intuitivo? no dependería de la forma del vector P?

Muchas gracias

Lo de tomar sólo estos dos términos (las razones de convergencia...) es, básicamente, para que se puedan cumplir las condiciones de contorno (sobre la superficie de la esfera dieléctrica y en el infinito).

En cuanto a lo de tomar la esfera como un dipolo desde el exterior, el momento dipolar de la esfera depende, efectivamente, del vector polarización: $\dst \vec{p}=\int _\tau \vec{P} \dd \tau$, donde $\tau$ es el volumen; por tanto, fuera de la esfera hemos integrado en todo el volumen y el momento ya no cambia: es el momento total. El momento (inducido por el dipolo en el centro) tendrá dirección del eje $OZ$ (paralelo al momento del dipolo en el centro). Entonces, desde fuera de la esfera, se puede tomar el campo y el potencial como el creado por un dipolo en el centro (cuyo momento es la suma del dipolo puntual y el de la esfera).

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Polonio, creo que hay algún error en los cálculos. El potencial no sale igual cuando $r=R$. Yo lo he hecho "a mi manera", y me da lo siguiente:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora pongo otro post explicando el proceso que he seguido, que es muy parecido al de Polonio.

Sustituyendo en mi solución he comprobado sí sale lo mismo para $r=R$. Además, he comprobado la solución con bibliografía.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Resolvemos la ecuación de Lpalace para coordenadas cilíndricas, con independencia de la componente $\varphi$:


$V_{int}=(A_nr^n+B_nr^{-n-1})P_n(\cos\theta)$

$V_{ext}=(A'_mr^m+B'_mr^{-m-1})P_m(\cos\theta)$


Aplicamos las condiciones de contorno:

si $r\to \infty , V_{ext}=0 \Rightarrow A'_m=0$

El potencial en el interior debe ser la suma de dos términos: el potencial que crea el dipolo ideal y el que crea la esfera al polarizarse. Por tanto, uno de los términos debe ser de la forma \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}:

$V_{int}=V_{esfera}+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2} \Rightarrow n=1 , B_1=\frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r} \Rightarrow V_{int}=A_1r\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}$

El potencial tiene que ser continuo:

$V_{int}=V_{ext} \Rightarrow A_1R\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}=B'_mR^{-m-1}P_m\cos\theta \Rightarrow m=1 \Rightarrow$

$A_1R\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}=B'_1R^{-2}\cos\theta \Rightarrow B'_1=A_1R^3+\frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}$


Por otro lado las componente normales (radiales) a la superficie de la esfera debenser igulaes, ya que no hay cargas libres.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\epsilon_r \left( A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 } \right) =A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con eso obtenemos el resultado anterior al sustituir.


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

En qué puede ser incorrecto mi razonamiento, ¿Polonio? Muchas gracias por tu información. Lo del potencial ha sido un error mío, sí que da continuo. Lo había leído mal jaja.

Donde pone error de LATEX no se por qué da error, quería poner esto A_1R\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}=B'_1R^{-2}\cos\theta \Rightarrow B'_1=A_1R^3+\frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Resolvemos la ecuación de Lpalace para coordenadas cilíndricas, con independencia de la componente $\varphi$:


$V_{int}=(A_nr^n+B_nr^{-n-1})P_n(\cos\theta)$

$V_{ext}=(A'_mr^m+B'_mr^{-m-1})P_m(\cos\theta)$


Aplicamos las condiciones de contorno:

si $r\to \infty , V_{ext}=0 \Rightarrow A'_m=0$

El potencial en el interior debe ser la suma de dos términos: el potencial que crea el dipolo ideal y el que crea la esfera al polarizarse. Por tanto, uno de los términos debe ser de la forma \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}:

$V_{int}=V_{esfera}+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2} \Rightarrow n=1 , B_1=\frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r} \Rightarrow V_{int}=A_1r\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}$

El potencial tiene que ser continuo:

$V_{int}=V_{ext} \Rightarrow A_1R\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}=B'_mR^{-m-1}P_m\cos\theta \Rightarrow m=1 \Rightarrow$

Hasta aquí, de acuerdo. Y esto es lo fundamental. En lo que sigue lo que veo son errores de cálculo.

$A_1R\cos\theta+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^2}=B'_1R^{-2}\cos\theta \Rightarrow B'_1=A_1R^3+\frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}$

Aquí ya empiezan los errores de cálculo: no puede salir la constante $B'_1$ en función de $r$

Por otro lado las componente normales (radiales) a la superficie de la esfera debenser igulaes, ya que no hay cargas libres.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\epsilon_r \left( A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 } \right) =A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 }$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto no puede ser, a menos que $\dst \epsilon_r=1$ (vacío) y sabemos que la esfera es dieléctrica...

Con eso obtenemos el resultado anterior al sustituir.


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Bueno, sólo hay errores de cálculo. ¡Ánimo!, ya estás muy cerca.

[Javi_VM]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Vaya, ¡tanto código LATEX me ha liado! en el papel tengo

$B'_1=A_1R^3+frac{p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r}$

la condición de igualdad de las componentes radiales del desplazamiento me da:


$\epsilon_r \left( A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 } \right) =-A_1-\frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3 }$


con lo que obtengo


$<br /> A_1=\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+1} \frac{2p}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rR^3}$


NOTA: Dios mío ya he encontrado el error!! había derivado mal, es -2 lo que acompaña a la A en el segundo miembro de la ecuacion de igualdad de los vectores desplazamiento!! espero que ya salga! Uf muchas gracias!! lo tengo que entregar mañana, justo a tiempo jeje. Ahora ya cuadra el dos ese

[polonio]

Re: Problema de un dipolo ideal en una esfera dieléctrica

Como dicen los rockeros: Oh, yeah! Pedazo de problema que hemos dejado en el foro. ¡Bravo, Javi!