1r ciclo Sobre conductividad y "movilidad eléctrica"

[Arri]

Hola a todos:

Estoy haciendo un trabajo sobre tensores en el cual tengo que completar unos apuntes, entre cuyos apartados uno que habla del tensor de conductividad eléctrica; en esta sección lo único que se nos dice es, esencialmente, que esta magnitud no suele ser un escalar, sino un tensor $\sigma_ {ij}$ tal que:

$J_i = \sigma_{ij}E_j$

Para completar esto, he consultado mis apuntes de Electromagnetismo, en los cuales llegábamos a esta conclusión en el caso escalar (el clásico $\vec{J}=\sigma\vec{E}$). Para llegar a este resultado, partíamos de que la velocidad de las cargas era proporcional al campo eléctrico:

$\vec{v}=\gamma\vec{E}$

Siendo $\gamma$ la movilidad eléctrica, que es una constante si el material es un sólido. Aplicando esto a la definición de densidad de corriente:

$\vec{J}= \rho \vec{v}=\rho \gamma \vec{E}= \sigma \vec{E}$

Siendo $\sigma = \rho \gamma$

Mi duda es: la conductividad es un tensor en medios anisótropos, pero ¿son anisótropos en tanto lo es $\rho$ o en tanto lo es $\gamma$? Es decir: ¿cambia la densidad o la movilidad con la dirección? ¿O ambas cosas?

He tratado de consultar bibliografía, pero en ninguno de los sitios que he mirado se definía $\sigma = \rho \gamma$.

Os agradecería mucho que me echarais una mano con esto.

Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Sobre conductividad y "movilidad eléctrica"

Entiendo que $\vec J = \rho \vec v$ es la definición de densidad de corriente, con $\rho$ necesariamente escalar, pues es el producto entre la carga de los portadores y su densidad volumétrica, ninguna de las cuales admite otra representación que no sea la escalar.

En cambio, $\vec v = \gamma \vec E$ (que no deja de ser una forma alternativa para la ley de Ohm) es una ley aproximada que describe aceptablemente el comportamiento de muchas substancias usando un coeficiente $\gamma$ escalar. Ahora bien, como dices, una modificación, para adaptarla a materiales en los que la ley no es válida debido a la anisotropía, consiste en usar para $\gamma$ un tensor y así incluir la no colinealidad entre el campo eléctrico aplicado y la dirección de movimiento de los portadores de carga.

De todos modos, ¿podría haber materiales en los que la densidad de portadores fuese función de la dirección de movimiento?. Pensando en términos microscópicos no parece razonable que el número de electrones o huecos que un átomo aporta a las bandas de conducción dependa de la dirección. Bueno, siendo más humilde, diré que nunca he oído nada semejante. Claro que, ahora que lo pienso, si nos ponemos en el punto de vista cuántico de la conducción eléctrica, la ley de Ohm es una supersimplificación.

Saludos!

[Arri]

Re: Sobre conductividad y "movilidad eléctrica"

Yo me decantaba más por que fuera $\gamma$ lo que cambia con el movimiento, como tú dices: se me haría raro que la densidad cambiase según la dirección de un medio. Sin embargo, no lo niego categóricamente porque más de una vez se ve un cuerpo con una densidad de carga que depende de la posición y cosas de esas (del estilo $\rho(\vec{R})$), aunque no sé si tiene mucho que ver con todo este asunto.

¡Gracias por la ayuda!

[arivasm]

Re: Sobre conductividad y "movilidad eléctrica"

...más de una vez se ve un cuerpo con una densidad de carga que depende de la posición y cosas de esas (del estilo $\rho(\vec{R})$),

El que la densidad de portadores dependa de la posición me parece de lo más natural, pues para ello basta con que el material no sea homogéneo (o que no esté sometido a condiciones uniformes, de temperatura, por ejemplo). Pero otra cosa diferente es que vaya a depender de la dirección. En mi opinión son cosas diferentes.

De todos modos, es cierto que cosas más raras hemos visto alguna vez.

Saludos!