1r ciclo ¡ Pero de donde sale este potencial !

[Mister Kroket]

Hola a todos, necesito algo de ayuda con esto, tengo que deducir con la primera ecuación de Maxwell : la energía potencial de un electrón en el campo de una esfera homogénea de radio R y de carga total Ae

dicho de otra forma tengo que deducir esta expresión pero no tengo ni idea de cómo aplicar la ley de Gauss ahí para que me de esto

$\dst V(r) = \frac{Ae^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{2R}( \frac{r^2}{R^2}-3)$

en puntos interiores de la esfera


y $\dst V(r) = \frac{-1}{r} \frac{Ae^2}{4\pi \epsilon_0}$ en puntos exteriores he intentado hacer muchas cosas pero no el resultado me da muy diferente

gracias

[polonio]

Re: ¡ Pero de donde sale este potencial !

1) Expresa el campo eléctrico obtenido por la ley de Gauss.

2) Obtén el potencial exterior integrando el campo desde el infinito hasta r>R.

3) Ahora, el potencial interior integrande desde R hasta r<R (haz uso de la continuidad del potencial).

Te tiene que salir.

[Mister Kroket]

Re: ¡ Pero de donde sale este potencial !

muchas gracias por la respuesta, pero soy demasiado obtuso ya lo obtuve para la parte exterior pero para la parte interior me da 1 y debería dar 3 $\dst V(r) = \frac{Ae^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{2R}( \frac{r^2}{R^2}-1)$ ¿ será que esta mal el campo ?
$\dst<br /> E= \frac{Ae *e }{2 R 4\pi \epsilon_0} r$

[polonio]

Re: ¡ Pero de donde sale este potencial !

El campo en el interior de una esfera cargada uniformemente con carga $-Ae$ y radio $R$ es:

$$\dst \vec{E}=-\frac{Ae}{4\pi \epsilon_0 R^3}\vec{r}$$

Por cierto... ¿de dónde salen las cargas al cuadrado ($\dst e^2$) en tus expresiones?

[Al2000]

Re: ¡ Pero de donde sale este potencial !

muchas gracias por la respuesta, pero soy demasiado obtuso ya lo obtuve para la parte exterior pero para la parte interior me da 1 y debería dar 3 $\dst V(r) = \frac{Ae^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{2R}( \frac{r^2}{R^2}-1)$ ¿ será que esta mal el campo ?
$\dst<br /> E= \frac{Ae *e }{2 R 4\pi \epsilon_0} r$

Si lo estás haciendo por integración a partir del campo, no te olvides de integrar los dos campos (exterior e interior) cuando calcules el potencial en el interior de la esfera.

Los valores del campo en puntos interiores y exteriores en función de los datos que presentas, son

$$\boldsymbol E_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &\frac {A e r}{4 \pi \epsilon_0 R^3}\, \boldsymbol u_r, & 0 \leqslant &r \leqslant R \\<br /> & \\<br /> &\frac {A e}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\, \boldsymbol u_r, & R \leqslant &r < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

que puedes obtener fácilmente aplicando el teorema de Gauss. Ahora, cuando integres para hallar el potencial en puntos interiores, debes tomar en cuenta el cambio en el valor del campo al atravesar la superficie:

$$V_{(r)} = - \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = - \int_{\infty }^{r}\!\! E\, dr = - \int_{\infty }^{R}\!\! E_\text {ext}\, dr - \int_{R}^{r}\!\! E_\text {int}\, dr, \quad 0 \leqslant r \leqslant R$$

Al sustituir el campo, integrar y reacomodar términos, deberás obtener

$$V_{(r)} = \frac {A e}{4 \pi \epsilon_0} \frac 1 {2 R} \left(3 - \frac {r^2}{R^2}\right), \quad 0 \leqslant r \leqslant R$$

el cual he escrito en la forma caprichosa de tu primer mensaje. Solo te resta multiplicar por $-e$ para obtener la energía potencial, invirtiendo el orden de los los sumandos dentro del paréntesis para tener la expresión que buscas.

Saludos,

Al

[Mister Kroket]

Re: ¡ Pero de donde sale este potencial !

Muchisimas gracias a los dos , Al excelente explicación