1r ciclo Problema campo eléctrico

[Espe]

Hola, necesitaría un poco de ayudita con un problema de campo eléctrico, la verdad es que no sé por donde empezar.

Dos bolas pequeñas con igual masa situadas en el espacio, +q y -q, se mantienen en reposo a una distancia d. Entonces se ponen en movimiento simultaneamente con velocidades iguales V0 de sentidos opuestos y perpendiculares a la línea que las une. Si durante el movimiento su velocidad mínima es v, calcular la masa de cada una de las bolas.

GRACIAS

[josemi]

Re: Problema campo eléctrico

\frac{\frac{}{ } }{ } si con v minima se refiere a la velocidad minima para que aga un movimiento circular en vez de chocar-se entonces es muy facil, la fuerzxa centripeta del movimiento circular en la fuerza electrica con que se atraen osea:

$m\dfrac{{v}^{ 2} }{ r}$=$k\dfrac{{q}^{2 } }{{r}^{ 2} }$

con r=$\frac{d}{2 }$

despejando:

$m=\dfrac{k{q}^{2 } }{r{v}^{ 2} }$

osea:

$m=\dfrac{2k{q}^{2 } }{d{v}^{ 2} }$

[josemi]

Re: Problema campo eléctrico

siento que no se vean bien las operaciones no se como hacer que aparezcan como han de aparecer

[angel relativamente]

Re: Problema campo eléctrico

Josemi, mételas entre las etiquetas [TEX][TEX] (la segunda etiqueta ha de ir cerrada). En el editor de mensajes, verás arriba un botón que pone $\TeX$. Selecciona lo que quieras que salga y púlsalo (necesitarías hacerlo dos veces, una etiqueta para cada ecuación). Si encima en lugar de \frac para las fracciones, poner \dfrac , te quedará mucho más bonito.

(cuando tengas tiempo échale un vistazo, no tiene desperdicio)

Saludos,

PD: Y ahora pregunta para josemi sobre su interpretación. ¿Cuál se supone que es el radio de giro? ¿No se supone que giran ambas en torno al centro de la línea que las separa?

[josemi]

Re: Problema campo eléctrico

tienes toda la razón angel grácias por hacer que me de cuenta y por ayudarme con el problema del editor de formulas.

[angel relativamente]

Re: Problema campo eléctrico

Déjame ser más quisquilloso (quizá me equivoque). La distancia que las separa es d, pero el radio de giro es r=d/2 . Por tanto, si igualamos la centrípeta a la eléctrica:

$$m\dfrac{v^2}{r}=K\dfrac{q^2}{d^2}\quad \Rightarrow \quad m\dfrac{2v^2}{d}=K\dfrac{q^2}{d^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{m=K\dfrac{q^2}{2dv^2}}$$

Saludos,

[Al2000]

Re: Problema campo eléctrico

Por favor, miren con ojo muy crítico lo que voy a escribir porque es la primera vez que resuelvo un problema de este tipo. Lo que he considerado es que en su movimiento (similar al movimiento planetario) ambos cuerpos orbitarán alrededor del centro común y tendrán que cumplirse los principios de conservación de la energia, momentum y momentum angular (omitiendo cualquier efecto de emisión de radiación electromágnética). Si llamamos $r$ la separación de los cuerpos en el momento de máxima lejanía (mínima velocidad), deberá cumplirse para la energía total que

$$E = 2 \times \frac 1 2 m v_0^2 - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q^2} d = 2 \times \frac 1 2 m v^2 - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q^2} r$$

y para el momentum angular que

$$L = 2 \times \frac d 2 \cdot m v_0 = 2 \times \frac r 2 \cdot m v \quad \Rightarrow \quad r = \frac {v_0} v d$$

de donde sustituyendo (2) en (1) y despejando la masa se obtiene

$$m = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q^2}{(v + v_0) v_0 d}$$

Estaba terminando el cálculo anterior cuando se me ocurre que estaba despreciando la interacción gravitacional sin ninguna justificación, pues no se ha dicho que sean partículas de nivel atómico. Entonces si modifico (1) para incluir la energía potencial gravitacional obtengo

$$E = m v_0^2 - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q^2} d - G \frac {m^2} d = m v^2 - \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q^2} r - G \frac {m^2} r$$

obteniendo esta vez la expresión mucho menos cómoda

$$m = \frac 1 {2 G} \left \{ (v + v_0) v_0 d \pm \sqrt {\left[(v + v_0) v_0 d \right]^2 - \frac {G q^2}{\pi \epsilon_0}}\right \}$$

¿Les parece razonable? No pude razonar nada que me permita descartar uno de los signos de la raíz.

Saludos,

Al

PD. Arrrrrrrrrg, me doy cuenta de que tengo la interacción gravitacional muy olvidada, no veo si es razonable el resultado cuando $q = 0$. De entrada me parece que se justifica descartar el signo negativo en la raíz, pero no alcanzo a ver si el resultado $m = (v + v_0) v_0 d/G$ es correcto. A repasarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

PD2. Mirando y remirando veo algo que me molesta y es que si la carga es suficientemente grande la raíz es imaginaria Ojalá alguien me indique el error, pues no lo veo... bueno, tal vez mañana con la mente mas fresca.

[arivasm]

Re: Problema campo eléctrico

Hola Al. En un primer vistazo echo de menos el ángulo entre posición y velocidad en la conservación del momento angular. Es decir, la trayectoria no necesariamente será una circunferencia. De hecho, si lo fuese, las velocidades serían constantes en módulo.

Quisiera señalar que cuando leí el ejercicio por primera vez lo que pensé es que no tenía mucho sentido, pues si las partículas son puntuales incluso con velocidades minúsculas describirán elipses muy cerradas, por lo que no creo que la información sea suficiente. Quiero decir, que si $v_0$ es tal que $d$ fuese la distancia máxima entre las cargas, $v_0$ también sería, directamente, la velocidad mínima del enunciado. En definitiva, lo que quiero decir es que, independientemente del valor que tenga la masa la $v_0$ podría tomar cualquier valor minúsculo, pero no nulo, lo que significaría que no hay información suficiente como para obtener la masa. Quizá en el enunciado falte añadir que las trayectorias son circulares, en cuyo caso el enunciado sí tendría sentido. Por otra parte, tampoco veo correcta la omisión de los efectos de emisión de radiación. En definitiva, mi impresión es que se trata de uno de esos ejercicios que se plantean sin pensar demasiado en si son realistas o no.

[arivasm]

Re: Problema campo eléctrico

Perdonadme que intervenga para únicamente rectificar lo que he escrito en mi post anterior, con respecto a que faltaba el ángulo en el cálculo del momento angular. Está claro que si $v_0$ es la mayor velocidad que poseerán las cargas, la menor vendrá dada por la igualdad que indica Al. Es decir, en términos astronómicos, para entendernos, si el punto de partida es el equivalente al periastro, entonces la velocidad mínima será en el apoastro, cumpliéndose lo que dijo Al. Por cierto, que aprovecharé que tengo a mis pobres alumnos haciendo un examen ahora mismo para mirar más a fondo lo que ha escrito e intentar encontrar las respuestas a las preguntas que Al formula.

[arivasm]

Re: Problema campo eléctrico

En primer lugar, diré que yo también llego a la expresión (5) de Al.

En segundo, señalaré que no hay nada en el razonamiento que obligue a que $v$ sea menor que $v_0$. Es decir, el mismo cálculo valdría si $v$ fuese la velocidad máxima y $v_0$ la mínima.


Edito: inicialmente creí que la causa del problema de la masa imaginaria estaba en una inconsistencia con el signo de la energía. Como veremos es otra. Pero dejaré la parte del texto referente a la energía, por si alguien le encuentra alguna utilidad.

En tercer lugar, creo que tengo la respuesta al problema de la masa imaginaria.Para ello he enfocado el problema de este otro modo: si despejamos $v$ en función de $v_0$, $d$, $q$ y $m$ obtengo esta expresión (yo prefiero usar la constante de Coulomb, $k$, en vez de la permitividad) tenemos que

$$v=\dst\frac{k q^2+G m^2}{m v_0 d}-v_0$$

que, de paso, nos proporciona un criterio para saber si $v_0$ será el mayor valor posible o el menor.


Esta parte es innecesaria:
Pero eso sí, debemos estar dentro del límite que impone el que las partículas no lleguen al infinito. Y digo esto último porque debe cumplirse que $v\geqslant 0$, donde $v=0$ corresponderá, evidentemente, al caso en que las cargas alcanzan el infinito, esto es, que la energía mecánica inicial sea nula y entonces que la masa sea una muy determinada (para unos valores dados de $v_0$, $d$ y $q$).

Quiero decir con todo esto que si la energía mecánica es positiva el razonamiento de Al deja de ser válido (la expresión (2) ya no se cumple, pues ya no habrá "apoastro"), toda vez que la menor velocidad corresponderá a una distancia infinita.

Por tanto, debemos tener en mente que para que (5) sea correcto debe cumplirse que

$$\dst\frac{kq^2+G m^2}{d}>m v_0^2$$

Aquí volvemos a lo que realmente importa:
Dicho todo esto voy a tratar de abordar la pregunta de Al, sobre qué sucederá si $q$ es demasiado grande, es decir, si se cumple que $4kq^2G>(v+v_0)^2v_0^2d^2$, que sería el caso que conduciría a una masa imaginaria.

Partamos de que se cumple que

$$4kGq^2>(v_0+v)^2 v_0^2 d^2$$

Manipulando un poco esta expresión encontramos que esto equivale a que

$v < \dst\frac{2 \sqrt{k G} q}{v_0 d}-v_0$

Pero, de acuerdo con (A), entonces

$\dst\frac{G m^2+ k q^2}{m v_0 d}-v_0<\dst\frac{2 \sqrt{k G} q}{v_0 d}-v_0$

lo que significa que

$\dst\frac{G m^2+ k q^2}{d}<\dst\frac{2 \sqrt{kG}q m}{d}$

Esta parte la añadí al corregir el post:

La expresión anterior multiplicada por $d$ puede escribirse como

$G m^2+ k q^2-2 \sqrt{kG}q m<0$

pero el lado izquierdo es el cuadrado de una diferencia

$\left(\sqrt{G} m - \sqrt{k} q\right)^2<0$

lo que, evidentemente, no es posible. Así pues, la respuesta al problema de la masa imaginaria está en que la velocidad v es dependiente de q a través de (A), no siendo posible que se dé la inconsistencia que señaló Al.

Aquí continúa la parte "salvable" de mi post original:
Terminaré señalando que no veo ninguna razón por la cual haya que quedarse con uno solo de los signos de (5) y que en lo que se refiere al tratamiento de los casos con $q=0$ siempre tenemos que tener en mente lo que he señalado acerca de que si la energía mecánica es positiva entonces el tratamiento debe ser algo diferente.

Saludos!

Perdonadme el "cacao" que origina la edición. De todos modos, espero haber aportado algo.

[xXminombreXx]

Re: Problema campo eléctrico

Déjame ser más quisquilloso (quizá me equivoque). La distancia que las separa es d, pero el radio de giro es r=d/2 . Por tanto, si igualamos la centrípeta a la eléctrica:

$$m\dfrac{v^2}{r}=K\dfrac{q^2}{d^2}\quad \Rightarrow \quad m\dfrac{2v^2}{d}=K\dfrac{q^2}{d^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{m=K\dfrac{q^2}{2dv^2}}$$

Saludos,

Seré un pelín más quisquilloso para decir que si $v_0 \not = v$, entonces no puedes hablar de radio de giro porque si la velocidad no es constante, dada la fuerza entre ellas, la trayectoria de ambas no será circular.

Siento dar un problema y no tener solución, pero es que ahora mismo no tengo tiempo para hacerlo. Lo intentaré.

P.D.: Veo que está resuelto arriba... tengo que leer antes de responder

[Espe]

Re: Problema campo eléctrico

En primer lugar, me gustaría daros las gracias a TODOS por la gran ayuda que me habeís dado.

Hice una consulta al profesor y me comento que cuando en el enunciado se refiere a "bolas pequeñas" es para no considerar campos gravitatorios aunque sea un enfoque bastante interesante del problema.

Al2000 entiendo que tendrán que cumplirse los principios de conservación de la energia pero no se porque se conserva el momentum angular.

De nuevo os agradezco a todos vuestra ayuda.

Saludos!!!!