1r ciclo Distribución de cargas

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Hola a todos,

Estaba haciendo un problema de asociación de condensadores en paralelo cuando me he atascado en un apartado, que tengo la sensación de que es bastante sencillo, pero ando algo espeso. Aquí podéis ver la asociación de condensadores:



Pues bien, me pedían hallar las capacidades de los dos condensadores, su capacidad equivalente, el potencial del conductor (1), la cantidad de carga en influencia total en los dos condensadores...etc. Hasta ahí bien.

El problema viene al ver cuál es la distribución de carga entre las caras interior y exterior de la corteza conductora intermedia, así como en el conductor (1) entre las superficies interna y externas de la corteza interior y de la exterior. Resulta que en las soluciones viene que es exáctamente igual al apartado del cálculo de la cantidad de carga en influencia total, pero atendiendo a los signos de las cargas.

Entiendo que la distribución debe ser aquella que cumpla que la carga en el conductor (1) es cero y en el (2) la que calculé en otro apartado. No obstante, me lío al representar dicha distribución así como las líneas de campo y la gráfica del potencial en todas las zonas del espacio. ¿Alguien me podría iluminar un poco?

Por si sirve de algo, os digo que los radios son de menor a mayor: a/3,2a/3 y a. Y los valores que obtuve para la cantidad de carga en influencia total en el condensador esférico de radios a/3 y 2a/3 y de radios 2a/3 y a son respectivamente:

$$2C_0/11 ,\quad 6CV_0/11 \quad \text{con} \quad C=4\pi\varepsilon_0a$$

Siendo la carga de (2) : $8CV_0/11$

¡Muchas gracias!

PD: Este ejercicio está sacado de una página de la Universidad de Sevilla, si bien la manera en la que lo resuelven no se parece en nada a lo que he estudiado, pues calculan la matriz de los coeficientes de la capacidad, cosa que jamás he hecho...

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

Sería mejor si pones el enunciado del problema.

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Re: Distribución de cargas

Hola,

El enunciado del que dispongo no es realmente un enunciado, sino básicamente una descripción del montaje, indicando que se trata de una asociación de condensadores en paralelo, formados por la superficie de la corteza de menor radio y la superficie interna de la de radio intermedio y otro formado por la cara externa de esta ultima y la interna de la de mayor radio. La conexión a una fuente es la que se indica en la figura, tendiendo así dos conductores "activos".

Te piden varias cosas, que si el potencial del conductor 1, la carga en influencia total en los dos condensadores... Mi problema es describir la distribución de cargas en las superifcies de modo que Q1 sea cero (el conductor 1 esta aislado y el sistema en equilibrio electrostático) y Q2 la que calcule e indique en mi primer post. Este paso es el que me impide continuar para representar gráficamente el campo y el potencial eléctricos en cada punto del espacio. Espero haberme explicado, pero si hay dudas intentare poner el enunciado.

Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: Distribución de cargas

Por si sirve de algo aquí se puede ver el enunciado del problema, si bien en mi caso los radios de las superficies conductoras concéntricas son distintos, pero bueno, eso da igual. Correspondería al apartado (3). Los otros resultados los he obtenido de una forma distinta, ya que nunca había visto el método de calcular la matriz de coeficientes de capacidad...

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

¿Te sirve tratar el problema de forma sencilla como una asociación mixta de condensadores? Podrías considerar el problema como tres condensadores esféricos conectados dos en paralelo (ambas superficies del conductor 2) en serie con otro (superficie externa del cascarón 1). Con los valores de los radios que indicaste y usando la fórmula del condensador esférico, $\dst C = 4 \pi \epsilon_0 \frac {r_1 r_2}{r_2-r_1}$, un cálculo rápido me dice que la capacidad total es $\dst C_\text {eq} = \frac 8 {11} C_0,\,\, C_0 = 4 \pi \epsilon_0 a$. Hallar la carga y el voltaje en cada uno de los condensadores es igual de inmediato.

Si te sirve y si te queda alguna duda, me dices y lo elaboro mas.

Saludos,

Al

[Cat_in_a_box]

Re: Distribución de cargas

En primer lugar, muchas gracias por responder. Ese fue el tratamiento que hice para calcular la carga equivalente, ya que no entendí muy bien el método de la matriz de los coeficientes de las capacidades. No obstante, mi duda no está en los aspectos de cálculo, sino en algo más tonto, si cabe.

Lo que piden es (literal): La distribución de carga entre las caras interior y exterior de la corteza conductora intermedia, así como en el conductor (1) entre las superficies internas y externas de la corteza interior, y también de la corteza exterior.

En el anterior apartado calculé la cantidad de carga que se halla en influencia total en cada condensador (considerando la asociación de dos condensadores en paralelo, y no la mixta) y tengo la sospecha de que por ahí anda la solución a esta cuestión. Quiero decir que la distribución debe ser tal que haga que la carga en el conductor (1), neta, sea cero, y en el intermedio la que calculé en otro apartado, ¿no?

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

Llamando:

-- $C_1$ al condensador formado por la superficie del la esfera sólida y la superficie interna de cascarón intermedio,

-- $C_2$ al condensador formado por la superficie externa de cascarón intermedio y la superficie interna del cascarón grande,

-- $C_3$ al condensador formado por la superficie externa del cascarón grande y una hipotética superficie esférica de radio infinito (tierra),

tienes que

$$C_1 = \frac 2 3 \cdot 4 \pi \epsilon_0 a = \frac 2 3 C_0$$

$$C_2 = 2 \cdot 4 \pi \epsilon_0 a = 2 C_0$$

$$C_3 = 4 \pi \epsilon_0 a = C_0$$

$$C_\text {eq} = \left(\frac 1 {C_1 + C_2} + \frac 1 {C_3}\right)^{-1} = \frac 8 {11} C_0$$

$$Q_ \text {eq} = C_\text {eq} V_0 = \frac 8 {11} C_0 V_0$$

$$V_{12} = \frac {Q_\text {eq}}{ C_{12}} = \frac {\dst \frac 8 {11} C_0 V_0}{\dst \frac 8 3 C_0} = \frac 3 {11} V_0$$

$$V_3 = \frac {Q_\text {eq}}{ C_3} = \frac {\dst \frac 8 {11} C_0 V_0}{\dst C_0} = \frac 8 {11} V_0$$

$$Q_1 = C_1 V_{12} = \frac 2 3 C_0 \cdot \frac 3 {11} V_0 = \frac 2 {11} C_0 V_0$$

$$Q_2 = C_2 V_{12} = 2 C_0 \cdot \frac 3 {11} V_0 = \frac 6 {11} C_0 V_0$$

$$Q_3 = Q_{eq} = \frac 8 {11} C_0 V_0$$

-- Carga superficie esfera sólida: $\dst -Q_1 = - \frac 2 {11} C_0 V_0$

-- Carga superficie interna cascarón intermedio: $\dst +Q_1 = + \frac 2 {11} C_0 V_0$

-- Carga superficie externa cascarón intermedio: $\dst + Q_2 = + \frac 6 {11} C_0 V_0$

-- Carga superficie interna cascarón grande: $\dst -Q_2 = - \frac 6 {11} C_0 V_0$

-- Carga superficie externa cascarón grande: $\dst +Q_3 = + \frac 8 {11} C_0 V_0$

-- Carga total conductor 1: $\dst \left(- \frac 2 {11} - \frac 6 {11} + \frac 8 {11}\right) C_0 V_0 = 0$

-- Carga total conductor 2: $\dst \left(+ \frac 2 {11} + \frac 6 {11}\right) C_0 V_0 = + \frac 8 {11} C_0 V_0$

-- Carga inducida en tierra: $\dst - \frac 8 {11} C_0 V_0$

Saludos,

Al

PD. Por cierto, el voltaje marcado como V1 en el dibujo sería lo que yo llamé $V_3$.

[Cat_in_a_box]

Re: Distribución de cargas

Exacto, era lo último que has escrito a lo que me refería. Duda más que resuelta, muchísimas gracias por tu tiempo, Al.

Saludos desde España, amigo

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

Fue un placer...

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

Por cierto, amigo felino, en el documento de la Universidad de Sevilla que refieres en tu tercer mensaje se calcula en forma incorrecta el trabajo realizado por el generador. Lo que calculan en el documento es el cambio de energía del sistema de conductores y asumen que "evidentemente" ese cambio de energía es igual al trabajo que hace el generador. En realidad el generador debe hacer un trabajo mayor, el cual en efecto se tiene que calcular no como el cambio de energía del sistema de conductores, sino como el trabajo realizado para mover la carga total a través de la diferencia de potencial que suministra la fuente.

Ahora digo yo, es evidente que si una fuente carga un condensador C con una carga Q a un voltaje V, la fuente hace un trabajo Wf = Q V mientras que el condensador almacena una energía Wc = 1/2 Q V. La diferencia de energía es disipada eventualmente en forma de calor.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Distribución de cargas

Oye Al, existe alguna demostración de lo que dices? porque siempre me ha dado curiosidad la ecuación de energia almacenada en un condesador, el hecho de que sea solo 1/2QV, la otra mitad se disipa siempre en calor? y si estamos considerando conductores ideales, algo asi como superconductores?

[Al2000]

Re: Distribución de cargas

Bueno, no se si hay algo que demostrar, todo proviene de la definición de energía potencial eléctrica. Lo que no debemos olvidar es que para cargar un condensador con una carga Q a un voltaje V, no se mueve toda la carga Q a través del mismo voltaje V sino que el aumento del potencial es gradual en la medida que la carga aumenta desde cero hasta Q. Una gráfica de Q vs V para un condensador es una línea recta de pendiente C; el área bajo la curva representa la energía almacenada, 1/2 Q V.

Un chequeo mas cercano a lo real que simplemente considerar que se conecta una fuente ideal a un condensador ideal mediante conductores ideales, es el circuito RC. En cualquier texto de Física a nivel universitario conseguirás el análisis del circuito. Fíjate que en el proceso de carga, asumiendo el condensador inicialmente descargado, la corriente en el circuito vale:

$$I = \frac {\mathcal E} R \ee ^{-t/RC}$$

de modo que se disipa una energía:

$$U_\text {dis} = \int_{0}^{\infty }\!\! I^2 R\, dt = \frac {\mathcal E^2} R \int_{0}^{\infty }\!\! e^{-2t/RC}\, dt = \frac 1 2 C \mathcal E^2$$

Fíjate que la energía disipada no depende del valor de la resistencia. Esto puede parecer un absurdo, tanto como el absurdo inicial de que la fuente suministre el doble de la energía que almacena el condensador. Sin embargo no se debe olvidar que el circuito RC sigue siendo una idealización de un circuito real en donde estamos obviando una parte inevitable de todo circuito eléctrico, como es la inductancia.

En un circuito real, en donde conectemos una fuente de tensión constante a un condensador mediante conductores de muy baja resistencia, se terminará obteniendo un circuito oscilante en donde parte de la energía sumistrada por la fuente estará presente en la energía del campo magnético que acompaña a la corriente del circuito.

Saludos,

Al

[nature]

Re: Distribución de cargas

Sorprendente Al, me bastó leer las primeras dos lineas para comenzar a conectar miles de ideas aisladas (has puesto muchas de mis neuronas al mismo potencial pues jaja xD). Genial!! como siempre muy agradecido profe.!!