1r ciclo Asociación de resistencias.

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Hola a todos,

Tengo que hacer un ejercicio para una asignatura de laboratorio y me gustaría saber si estáis de acuerdo con mis resultados, o bien con mi procedimiento. La verdad es que nunca había hecho nada parecido. El problema es el siguiente:

Tenemos un montaje de tres resistencias. Se pide calcular la resistencia equivalente del conjunto. La figura es esta:



Como veis es una asociación muy sencilla, en la que no hay problema para calcular la resistencia equivalente. Lo ''novedoso'' del problema es que cada valor de las resistencias está también influido por una tolerancia que da el fabricante, siendo ésta del 5%. Así pues, se pide calcular la resistencia equivalente con su correspondiente incertidumbre.


Los valores que tengo de las resistencias son: $R_1= 55 \mathrm{\Omega }$ y $R_2=110 \mathrm{\Omega }$.

Pues bien, en primer lugar lo que calculo es la incertidumbre absoluta de cada resistencia. Por tolerancia entiendo que se trata de la incertidumbre relativa, luego:

$$\Delta R_1= \dst\frac{\delta_{R_1} R_1}{100}=\pm 2.75 \Omega ,\quad \Delta R_2= \dst\frac{\delta_{R_2} R_2}{100}=\pm 5.5\Omega$$

Luego tendría los siguientes valores de las resistencias debidamente expresados (por convenio solemos tomar dos cifras significativas para la incertidumbre):

$$R_1=(55.0 \pm 2.8)\Omega, \quad R_2=(110.0 \pm 5.5)\Omega$$

Para los cálculos no obstante tomaré todos los decimales de la incertidumbre de la primera resistencia... Así pues, tenemos que $R_2$ está en paralelo con una asociación en serie de $R_1$ y$R_2$.

Podemos reducir el circuito por tanto:

$$R_{eq}=R_1+R_2=165 \Omega$$

En lo que respecta a su error, al ser una medida indirecta:

$$\Delta R_{eq}= \sqrt{(\Delta R_1)^2 + (\Delta R_2)^2}\approx 6.149...$$

Luego: $R_{eq}= (165.0 \pm 6.1)\Omega$. Insisto en que la incertidumbre de la resistencia equivalente final se calculará arrastrando todos los decimales de este último cálculo, de modo que no se acumulen errores de redondeo...

Por último, calculo la resistencia equivalente del montaje teniendo en cuenta que están en paralelo:

$$R'_{eq}=\dst\frac{R_{eq}R_2}{R_2+R_{eq}}=66\Omega$$

En cuanto a la incertidumbre, la obtengo derivando parcialmente, y obtengo la siguiente expresión simplifcando todo lo que he podido:

$$\Delta R'_{eq}= (R'_{eq})^2 \sqrt{\left(\dst\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}}\right)^2+\left(\dst\frac{\Delta R_2}{R_2}\right)^2}\approx 2.21...$$

Luego la resistencia equivalente del montaje sería: $\boxed{R'_{eq}=(66.0\pm 2.2)\Omega}$

¿Estaría bien así? Es que es la primera vez que veo lo de la tolerancia del fabricante y no sé si se referirá a la incertidumbre relativa. El caso es que no dan más datos. Espero que coincidáis

Saludos,

[Al2000]

Re: Asociación de resistencias.

¡No güey! Revisa, ninguna operación te puede disminuir la incertidumbre. También observa que (4) no es dimensionalmente consistente.

Saludos,

Al

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Re: Asociación de resistencias.

Tienes toda la razón. Me extrañó mucho que disminuyera de esa forma la incertidumbre, lo cual no tiene ningún sentido. Revisaré la expresión (4) y mis cálculos, porque sin simplificar la expresión creo que me daba algo parecido. Tal vez el error esté al derivar, pero vamos, ¡ya lo que me faltaba! que no supiera derivar

Gracias y un saludo,

[Cat_in_a_box]

Re: Asociación de resistencias.

Ya me di cuenta del error, y fue al pasar la expresión a formato $\LaTeX$. Se me escaparon dos cuadrados, resultando:

$$\Delta R'_{eq}= (R'_{eq})^2 \sqrt{\left(\dst\frac{\Delta R_{eq}}{R^2_{eq}}\right)^2+\left(\dst\frac{\Delta R_2}{R^2_2}\right)^2}$$

Lo extraño es que me siga dando el mismo resultado, incluso haciéndolo sin simplificar... Revisaré todo de nuevo.

[xXminombreXx]

Re: Asociación de resistencias.

A mi la expresión que me DA para la incertidumbre de las últimas resistencias, tu ecuación 4 debe ser:

$$<br /> \Delta R_{eq}'^2 = \left( \frac{R_2^2}{(R_{eq}+R_2)^2} \Delta R_{eq}\right)^2 + \left( \frac{R_{eq}^2}{(R_{eq}+R_2)^2} \Delta R_{2} \right)^2<br />$$

Revisa las derivadas parciales qeu se usan para llegar ahí, te habrás equivocado en algún sitio.

La última ecuación que has puesto corregido sigue siendo dimensionalmente incorrecta, fíjate que se anulan todos los $\omega$, y acabas teniendo que el valor de la resistencia es un número adimensional.

Acabo de leer tu última frase: La tolerancia del fabricante no es más que un valor que indica lo que esa resistencia puede variar, dependiendo del circuito en el que lo metas y algún otro factor por ahí. A la hora de tener en cuenta la incertidumbre, puesto que la estás midiendo en un circuito, esa tolerancia formará parte de la incertidumbre de la resistencia, evidentemente, puesto que ya de por sí el fabricante te está diciendo que su valor puede variar un 5%, entonces la incertidumbre formada por esa tolerancia será sólo del 5% del valor que el fabricante te da para la resistencia.

Un saludo.

[Cat_in_a_box]

Re: Asociación de resistencias.

Hola,

En primer lugar, gracias por la respuesta. Creo que la última expresión que he puesto no es dimensionalmente incorrecta:

$$\Delta R'_{eq}= (R'_{eq})^2 \sqrt{\left(\dst\frac{\Delta R_{eq}}{R^2_{eq}}\right)^2+\left(\dst\frac{\Delta R_2}{R^2_2}\right)^2}$$

Pues de la raíz se obtiene: $1/\Omega$ que con los $\Omega^2$ de fuera de la raíz se obtiene al final el valor de la incertidumbre en ohmios, como debe ser.

Sí, llegué a tu expresión también, pero después seguí manipulándola hasta obtener la mía. Si sustituyes datos numéricos, resulta que:

$$\Delta R'_{eq}= (R'_{eq})^2 \sqrt{\left(\dst\frac{\Delta R_{eq}}{R^2_{eq}}\right)^2+\left(\dst\frac{\Delta R_2}{R^2_2}\right)^2}=2.21095...$$

Y en la tuya:

$$\Delta R_{eq}'^2 = \left( \frac{R_2^2}{(R_{eq}+R_2)^2} \Delta R_{eq}\right)^2 + \left( \frac{R_{eq}^2}{(R_{eq}+R_2)^2} \Delta R_{2} \right)^2= 4.888341156$$

Luego:

$$\Delta R'_{eq}=\sqrt{4.888341156}=2.21095...$$

Es decir, el mismo resultado, por lo que en principio las dos expresiones son equivalentes, ¿no? Lo miraré con más calma, pero a ojo aún no veo dónde puede estar el error. Gracias.

Un saludo,

[xXminombreXx]

Re: Asociación de resistencias.

Es cierto, lo siento. De todos modos, no creo que sea incorrecto.

Lo que se me ocurre es que como sumar resistencias en paralelo da una resistencia equivalente menor a una de ellas, la incertidumbre sí que puede salir menor... Aunque me parece raro que salga menor que las dos.