1r ciclo Condensador variable

[Nitroni]

\dst Aqui pongo este problema para que me hecheis una mano.



Por el teorema de Gauss, el campo electrico debido a las superficies conductores:
$S=\frac{\pi R^2}{ 2}$

$E_+=\frac{\sigma }{2\epsilon }= \frac{Q_{libre}}{\pi R^2\epsilon_0 }$

$E_-=\frac{\sigma }{2\epsilon }= \frac{-Q_{libre}}{\pi R^2\epsilon_0 }$

El campo total en el interior de las placas sera:

$E_0=E_++E_-=\frac{2Q}{\pi R^2\epsilon_0 }$

Como en el dielectrico, por efecto de la polarizacion se crea un campo electrico inducido contrario a $E_0$ :

$E_{int}=E_{0}-E_{ind}=E_0/\epsilon _r=2Q/\pi R^2 \epsilon_0 \epsilon_r$

$\epsilon =\epsilon _0\epsilon _r$

$E_{ind}=E_0-E_{int}=2Q/\pi R^2 \epsilon_0(1-1/\epsilon)$

$dr=R d \theta$

$dS=\pi R^2d\theta=\pi R^2 d \theta$

Estoy un poco perdido a partir de aqui, para el campo total de las placas sin el dielectrico, ¿deberia considerar la permitividad del medio la del vacio?.¿Tendria que aplicar el teorema de gauss para el campo inducido para calcular la carga de polarizacion?.

[arivasm]

Re: Condensador variable

Está claro que el resultado debe ser dependiente del ángulo de recubrimiento entre ambos semicírculos, cosa que no sucede con lo que has escrito! Es más, si el condensador se mantiene conectado a una fuente, la carga que almacena dependerá de la capacidad a través del ángulo!.

Yo lo enfocaría de otra manera: Podemos visualizar el condensador como una asociación en paralelo de dos condensadores, $C(\theta)=C_0(\theta)+C_d(\theta)$, donde $C_0$ corresponde a la parte que no tiene dieléctrico y $C_d$ a la que sí lo tiene. Por tanto, el problema estaría en conocer estas dos capacidades. Quizá una buena aproximación sea la del condensador plano, de manera que $C_0(\theta)= \epsilon_0 S_0(\theta) / d$ y $C_d(\theta)= \epsilon_r \epsilon_0 S_d(\theta) / d$.

De esta manera, sólo tendrías que encontrar la expresión para ambas superficies (es muy sencillo, es una simple cuestión de proporcionalidad).

Para la segunda pregunta, toma en consideración la energía potencial del condensador, pero también que al variar la capacidad hay que trasladar una carga a través del generador (entiendo que se cambia el ángulo manteniendo el condensador conectado a una fuente -quizá el enunciado debería aclarar este aspecto-). Si quieres, échale un vistazo a este otro hilo, donde en el apartado b) se trata un problema parecido, en el que un condensador cambiaba su capacidad mientras se mantenía conectado a una fuente y se pedía el trabajo necesario para hacer el cambio en la capacidad (la solución del problema está en esta entrada).

[Nitroni]

Re: Condensador variable

perdonadme que he puesto 2 hilos sin querer.

[Nitroni]

Re: Condensador variable

Segun dices yo encuentro que la superficie de las armaduras disminuye segun: $S_0=\pi R^2/2 - dS_d(\theta)=\pi R^2/2-\pi R^2d\theta=\pi R^2(1/2-d\theta )$

[Al2000]

Re: Condensador variable

Lo tienes mal, estás poniendo una cosa extraña donde a una cantidad finita le estás restando una cantidad infinitesimal.

Si el área total del condensador es $S = \frac 1 2 \pi R^2$ y el dieléctrico está introducido abarcando un ángulo $\theta$, el área que corresponde a la parte con dieléctrico es $S_d = \frac 1 2 \theta R^2$ y la que no tiene dieléctrico será la diferencia $S_0 = \frac 1 2 (\pi - \theta ) R^2$.

Saludos,

Al

[Nitroni]

Re: Condensador variable

uff se me ha ido la cabeza un poco, pero lo queria poner era eso.Con esto ya tengo relacionadas las superficies y por tanto la capacidad en funcion de $\theta$:

$C(\theta)=C_0(\theta)+C_d(\theta)=\epsilon_0S_0(\theta)/d + \epsilon_0\epsilon_rS_d(\theta)/d$

$C(\theta )=\epsilon_0 R^2(\pi-\theta)/2d + \epsilon_0\epsilon_r R^2\theta/2d$

$C(\pi )=\epsilon_0 R^2\pi /2d - \epsilon_0 R^2\theta/2d + \epsilon_0\epsilon _r\theta R^2/2d$

$C( \theta )=\epsilon_0 R^2/2d((\pi-\theta)+\epsilon_r\theta)$



Por tanto el rango seria:

Desde $C(\pi /6 )=\epsilon_0 R^2/2d((5\pi /6)+\epsilon_r\pi /6)$
Hasta $C(\pi )=\epsilon_0\epsilon _rR^2\pi /2d$

Estaria bien?

[arivasm]

Re: Condensador variable

Correcto.

Ahora atácale a la cuestión del trabajo que hace falta para cambiar la capacidad. Quizá el análisis te resulte sencillo si lo enfocas de esta manera: al introducir el dieléctrico, ¿qué sucede con la capacidad?; es decir, al hacer un cambio en el ángulo, $\dd \theta$ ¿cuánto vale $\dd C$?. Como ese proceso se hace mientras se mantiene conectado a un generador ¿cuánto cambia la carga en las placas?. Traslada esos resultados al cambio en la energía del condensador si se mantiene constante la ddp y calcula también el trabajo que realiza el generador al trasladar a su través la carga necesaria para realizar esa variación. El trabajo que haya que realizar más el trabajo que realice el generador será igual a la variación de la energía potencial electrostática almacenada en el condensador.

[Nitroni]

Re: Condensador variable

Segun entiendo yo,¿ me estas diciendo que derive la capacidad respecto al angulo y despues obtener para ese diferencial de capacidad obtener dq?

[arivasm]

Re: Condensador variable

Exacto. La vía que te sugiero es encontrar $\dd C/\dd \theta$, con ella $\dd Q/\dd \theta$ y a partir de esta última obtener dos cosas: $\dd U/\dd \theta$, para la energía potencial electrostática y $\dd W_{gen}/\dd \theta$ para el trabajo realizado por el generador. De esa manera puedes encontrar $\dd W_{ap}/\dd \theta$ para el trabajo realizado por la fuerza aplicada necesaria para introducir el dieléctrico. Si, por ejemplo, el signo de esta última derivada es positiva significará que costará más aumentar el ángulo que disminuirlo.

[Nitroni]

Re: Condensador variable

$\dd C/\dd \theta=-\epsilon_0 R^2/2d + ((\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d)( \epsilon_0 R^2/2d))=-\epsilon_0 R^2/2d + \epsilon_0^2\epsilon_r R^4/4d^2$

$\dd C/\dd \theta=\epsilon_0 R^2/2d(\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d - 1)$

$\dd C= \epsilon_0 R^2/2d(\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d - 1)\dd \theta$

$C=Q/\Delta V$

$\dd C=\dd Q/\Delta V$

$\dd Q= \epsilon_0 R^2/2d(\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d - 1)\dd \theta \Delta V$

$\dd Q/\dd \theta = \epsilon_0 R^2/2d(\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d - 1)\Delta V$

$\partial W_{gen}=\Delta V\dd q= ( \epsilon_0 R^2/2d(\epsilon_0\epsilon_r R^2/2d - 1)) (\Delta V)^2 \dd \theta$


Lo dejo hecho hasta aqui porque no estoy seguro si la derivada esta bien realizada.

[arivasm]

Re: Condensador variable

El principio de lo que acabas de escribir no tiene buena pinta. Volveré a escribir tu respuesta para la capacidad, que sí la tenía, pero en vez de así $C( \theta )=\epsilon_0 R^2/2d((\pi-\theta)+\epsilon_r\theta)$ de esta otra manera, para que se vea mejor:

$\dst C( \theta )=\epsilon_0 \frac{R^2}{2d}\left(\pi-\theta+\epsilon_r\theta\right)$

porque así queda claro que

$\dst \frac{\dd C}{\dd \theta}=\epsilon_0 \frac{R^2}{2d}(\epsilon_r-1)$

que, como ves, es un valor constante y positivo.

Con respecto al resto, salvo lo que se deriva de este error, está correcto. Pero aún te falta la energía del condensador, $U=\frac{1}{2}C (\Delta V)^2$, y combinarla con el trabajo del generador, para llegar a la respuesta final.

[Nitroni]

Re: Condensador variable

Corregido este fallo voy a poner como quedaria todo:

$\dd C(\theta)=\epsilon _0\frac{ R^2}{2d }(\epsilon_r-1)\dd \theta$

$\dd Q=\epsilon_0\frac{R^2}{2d }(\epsilon_r-1)\Delta V\dd \theta$

$\dd W_{gen}=\epsilon_0\frac{R^2}{2d }(\epsilon_r-1)(\Delta V)^2\dd \theta$

$U(\theta)=\epsilon_0\frac{R^2}{4d }(\pi-\theta+\epsilon_r\theta)(\Delta V)^2$

$\frac{\dd U}{\dd \theta } =\epsilon _0\frac{R^2}{ 4d} (\epsilon _r-1 )(\Delta V)^2$

LLegado aqui tengo confusion y me lio con los signos.¿Ahora que tendria que calcular el $W_{ap}$ en terminos diferenciales $\dd W_{ap}=-\dd W_{gen}-\dd W_{elec} ?$

$\dd W_{elec}=-\dd U=\epsilon _0\frac{R^2}{ 4d}(1-\epsilon _r)(\Delta V)^2\dd \theta$

[arivasm]

Re: Condensador variable

Correcto: la suma de los tres trabajos es nula y el que realiza la fuerza de Coulomb es el opuesto de la variación de la energía potencial.

Saludos!

[Nitroni]

Re: Condensador variable

Corrigeme si me equivoco haciendo los calculos:

$\frac{\dd W_{ap}}{\dd \theta } =-\epsilon_o\frac{R^2}{2d }(\epsilon_r-1)(\Delta V)^2-\epsilon_o\frac{R^2}{4d }(1-\epsilon _r)(\Delta V)^2 = \epsilon_o\frac{R^2}{4d }(1-\epsilon _r)(\Delta V)^2$

La derivada me sale negativa. Entonces quiere decir que cuesta menos trabajo aumentar el angulo que disminuirlo

[arivasm]

Re: Condensador variable

En mi opinión tu conclusión es correcta.