1r ciclo Condensador cilíndrico con dieléctrico

[Zhisi]

Hola, estoy intentando el siguiente ejercicio. Lo tenía hecho, pero he llegado a la conclusión de que lo tengo todo mal.



Copio las respuestas que tenía de los apartados con los que no me aclaro.

a) $E_1=0$ porque dentro de un conductor el campo ha de ser siempre cero.
Para hallar $E_2$ utilizo el teorema de Gauss:

$\phi=\int EdS=\frac{{Q}_{int}}{\epsilon _0 }$

Aquí es donde tengo la primera duda. El campo en la región 2 ha de ser el resultado de restarle al campo producido por la carga del cilindro interior, el campo producido por la carga ligada en el dieléctrico.

$E=E_0-E_b$

Entonces, habia pensado en utilizar el teorema de Gauss y sustituir

${Q}_{int}=l(\mu -\mu_b)$

Pero no tengo ni idea de como hallar la densidad de carga en el dieléctrico o de como hallar el campo del dieléctrico.

$E_3=0$

Para la zona 4 utilizo el teorema de Gauss:

$E_4=\frac{{Q}_{int}}{2\pi rl\epsilon _0 }=\frac{\mu +\mu '}{2\pi rl\epsilon _0 }$

Y el dieléctrico no afecta al campo eléctrico fuera del condensador.


Una vez aclare este apartado, el resto creo que sé cómo hacerlo.



Gracias.

[Al2000]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Te telegrafío unas indicaciones. Si necesitas mas ayuda, pregunta.

a) La simetría, la condición de equilibrio electrostático y el Teorema de Gauss te llevan a la conclusión de que la carga se distribuye de la forma $\mu ,\, - \mu ,\, \mu + \mu '$. La aplicación del teorema de Gauss al espacio con el dieléctrico te lleva a $\dst \oint \boldsymbol D \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = q_\text {libre} \quad \Rightarrow \quad D = \frac \mu {2 \pi r}$. El campo eléctrico lo obtienes a partir del desplazamiento: $\dst \boldsymbol D = K \epsilon_0 \boldsymbol E \quad \Rightarrow \quad E = \frac \mu {2 \pi K \epsilon_0 r}$. Para la zona interior al cilindro interior e interior al cascarón cilíndrico el campo es cero y para la zona exterior el campo es $\dst E = \frac {\mu + \mu '} {2 \pi \epsilon_0 r}$.

b) Resuelve la integral indefinida de E y ajusta los valores de las cuatro constantes empezando por el eje del cilindro, donde el potencial debe valer cero y forzando la continuidad del potencial en cada frontera.

c) Inmediato sabiendo el campo: $\dst \boldsymbol P = (K-1)\epsilon_0 \boldsymbol E$.

d) La distribución de cargas en los dos conductores no depende de la presencia del dieléctrico, como debe haber sido claro al deducirlo en a).

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Perdón por el retraso.
Lo he entendido, voy a hacerlo en el papel y si no comprendo algo, comento.

Muchas gracias Al2000.

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Bueno, ya lo he hecho en papel y resulta que obtengo los mismos resultados que haciéndolo como al principio. He hecho lo siguiente:
a) $E_1 =0$


$\dst \oint D dS=Q_{libre} =\mu l\Rightarrow D=\frac{\mu}{2 \pi r }$

$\dst D=\kappa \epsilon _0 E_2 \Rightarrow E_2 =\frac{\mu}{2 \pi r \kappa \epsilon _0 }$
Para $a<r<b$
El campo disminuye con la distancia, ¿por lo mismo que cuando no tiene dieléctrico supongo?

$E_3 =0$


$\dst\phi =\int E dS = \frac{Q_{interior}}{ \epsilon _0} \Rightarrow E_4 =\frac{\mu '+ \mu}{2 \pi r \epsilon _0 }$

¿Es esto correcto?

b) Tomando $V=0$ en el eje tenemos que:

Zona 1:
$V=0$

Zona 2:
$\dst V'(r_2)=\int \frac{\mu}{2 \pi r \kappa \epsilon _0 }dr =\frac{\mu}{2 \pi \kappa \epsilon _0 }ln(r)$

¿tiene sentido que el vector desplazamiento dependa del radio?

evaluado entre $r_2$ y $a$ donde $a<r_2<b$ :

$\dst V'(r_2 )=\frac{\mu}{2 \pi \kappa \epsilon _0 }ln(\frac{r_2}{ a} )$

Zona 3:

$\dst V=V'(b)=\frac{\mu}{2 \pi \kappa \epsilon _0 }ln(\frac{b}{ a} )$

Zona 4:
$\dst V=V'(b)+V''(r_4 )=\frac{\mu}{2 \pi \kappa \epsilon _0 }ln(\frac{b}{ a} )+ \int \frac{\mu '+ \mu}{2 \pi r \epsilon _0 }= \frac{\mu}{2 \pi \kappa \epsilon _0 }ln(\frac{b}{ a} )+ \frac{\mu '+ \mu}{2 \pi \epsilon _0 }ln(\frac{r_4}{c } )$

Donde $c<r_4 <\infty$

Con los potenciales suelo confundirme, ¿es esta la forma correcta de hallarlo? En clase nos dijeron que hay que integrar cada parte por separado, pero creo que con hacer la integral de la zona dos entera y más la zona 4 es suficiente, por que las otras son cero, aunque no lo acabo de entender.

c) Polarización del dieléctrico:
$\dst P=(\kappa -1)\epsilon _0 \frac{\mu}{2 \pi \kappa r_2 \epsilon_0 }= (\kappa -1)\frac{\mu}{2 \pi \kappa r_2 }$
donde $a<r_2<b$

Creo que está bien, pero no comprendo el sentido físico. La polarización es inversamente proporcional al radio (en este caso), es decir que cuanto más nos alejamos del origen menos se polariza el dieléctrico ¿eso tiene sentido?

Densidad de carga (ligada) en la parte interior del dieléctrico:
$\dst \mu _b =(\kappa -1) \frac{\mu }{2 \pi \kappa a}$

Densidad de carga (ligada) en la parte exterior del dieléctrico:
$\dst \mu _b =(\kappa -1) \frac{\mu }{2 \pi \kappa b}$

Aquí, supongo que es normal que la densidad sea menor a mayor radio puesto que ha de repartirse la misma cantidad de carga ligada pero en mayor superficie ¿este planteamiento es correcto?


PD: Gracias por layuda prestada. Voy a colgar otros ejercicios similares para ver si los tengo bien porque no fio mucho de lo que he hecho jaja!! Lo digo por si alguien le interesa ver más ejercicios de este tipo (si, Ras, ya se que a ti te interesa... jajajajaja!!)

[Al2000]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Tienes un error con los signos de los potenciales. Así como lo escribiste, el potencial aumenta con la distancia lo cual es incorrecto. Recuerda que $\dst \Delta V = - \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = - \int E_{(r)}\,dr$.

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Cierto.

¿Lo demás (aunque sea a grossomodo) está ok?

Gracias.

[Al2000]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Apartando cuestiones de estilo y el error de signo del potencial, se ve bien (aunque me reservo el derechoo de cambiar de opinión sin previo aviso jajajaja).

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Ok, jaja!
¿A qué te refieres con lo del estilo? toda crítica que ayude a mejorar es bienvenida.

[Al2000]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Esto es una opinión muy personal y nadie tiene por qué estar de acuerdo conmigo. A mi me resulta molesto (mas que molesto, confuso) el uso y abuso de varios nombres de la distancia ($r,\, r_2,\, r_4$) y de los potenciales ($V,\, V',\, V''$), por poner un ejemplo. Creo que se ve poco "profesional".

Un detalle respecto de otra cosa. A menos que por estilo desees que las integrales se vean tan chiquitas, incluye el comando \dst al principio de la ecuación.

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

Un detalle respecto de otra cosa. A menos que por estilo desees que las integrales se vean tan chiquitas, incluye el comando \dst al principio de la ecuación.

No sabía que se podía hacer eso y me molestaba mucho que saliera todo dan pequeño.

A mi me resulta molesto (mas que molesto, confuso) el uso y abuso de varios nombres de la distancia () y de los potenciales (), por poner un ejemplo

Si no las llamo así ¿cómo distigo entre unas y otras?

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

No sabía que se podía hacer eso y me molestaba mucho que saliera todo dan pequeño.

Y para ser más tiquismiquis contigo, Zhisi, si al introducir unos paréntesis (o unos corchetes), en lugar de poner (...) pones \left(... \right) , verás como el paréntesis engloba mejor a todo el término. Por ejemplo:

ln(\frac{b}{ a} ) queda $ln(\frac{b}{ a} )$

Mientras que:

\ln \left(\dfrac{b}{ a} \right) queda $\ln \left(\dfrac{b}{ a} \right)$

(nótese que he puesto el \ antes de ln para insertar el comando "logaritmo neperiano", y no el producto de l por n, así como he puesto \dfrac en lugar de \frac, que es el equivalente a poner \dst \frac, para que se vea más grande)

Saludos, y perdona por un aporte tan banal.

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

angel relativamente pareces mi ex-profesor de álgebra, te ha faltado decir que "resulta OBVIO que si utilizo el codigo latex para poner paréntesis la ecuación tendra un aspecta más correcto" jajaja!!
Bromas a parte, banal o no, toda ayuda y crítica que ayude a mejorar es bienvenida.

Un saludo.

[aciroetacisif]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

¿Cómo puedo poner los símbolos de integrales, diferenciales, etc? Es que los comandos que salen, al pulsarlos me sale en pantalla unas letras, pero al previsualizar el mensaje siguen con dichas letras en vez de aparecer los símbolos. Soy nuevo, disculpad mi torpeza.

[Zhisi]

Re: Condensador cilíndrico con dieléctrico

En primer lugar, este no es el sitio indicado para hacer esa pregunta.
En segundo lugar, si le das a el boton de la imagen donde aparecen las siguientes letras TEX



Te aparece lo siguiente [tex] y [/ x] (sustituye la x por la palabra tex)
Ahora tienes que escribir entre esas dos cosas que te aparecen , las integrales y demás símbolos y cuando envías te saldrán los símpbolos por ejemplo

[tex] \int \sum_{n = 0}^\infty \hat{\imath} [/ x]

Si sustituyes la x de los corchetes del final por tex te sale lo siguiente

$\int \sum_{n = 0}^\infty \hat{\imath}$


Un saludo.