1r ciclo Campo electrico creado por una esfera incompleta

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo muchas dudas en este ejercicio, sobre todo cuando hay que hallar el campo en el punto 2.

Enunciado:

[FONT=Courier New]"En el interior de una esfera de radio R, que posee una carga Q uniformemente distribuida en su volumen, se taladra un hueco esférico de radio R/2 tal como muestra la figura. Calcular el campo eléctrico en los puntos [/FONT]${P}_{1 }$,${P}_{ 2}$ y ${P}_{ 3}$ indicados en la figura."



El razonamiento que entendí yo cuando lo resolvieron es que al hacer ese taladro en la esfera, es como si se pusiera una esfera cargada de la misma densidad volumétrica electrónica que la esfera grande pero de signo contrario. Esto no lo entiendo yo muy bien porque si se "taladra" una esfera de radio R/2 entiendo que quita todo lo que hay dentro y por tanto, quedaría hueco. Bueno, a partir de este razonamiento llega a determinar el campo en el punto 1.

Sin embargo, a pesar de que en el punto 1 pudiera "aceptar" ese razonamiento a cambio de tener que echarle mucha imaginación al asunto, la determinación del campo en el punto 2 no sé cómo plantearla de ninguna manera, y menos aún cuando veo que la solución tiene que ser ${\vec{E} }_{{P}_{2} }=\frac{kQ}{ 2{R}^{2 } }\hat{\imath}$

Supongo que si entiendo totalmente como hallar el campo en el punto 1 y el 2 sabré resolver el punto 3 jeje.

Muchas gracias. Un Saludo

[ageoo]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

q tal compañero....bueno lo que hay q hacer para resolverlo es utilizar el metodo de superposicion, es decir calcula el campo electrico de la esfera grande (como si estuviera completa) y luego calculas el campo electrico de la esfera pequeña (como si hubiera una esfera), y luego al campo elec. de la esfera mayor le restas el campo electrico de la esfera menor..............

[GNzcuber]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

Hola kuvala,

Efectivamente, cuando "taladras" o haces de alguna manera el hueco no hay carga alguna allí, pero lo que te han dicho no es lo que pasa realmente sinó una manera sencilla y correcta para poder calcular el campo eléctrico.

Tu no sabes calcular el campo eléctrico de una esfera como la que te mostraron, pero supongo que sí sabes calcular el campo interior y exterior de esferas macizas cargadas uniformemente, así que para simplificar el problema imaginas que tienes la esfera grande con densidad de carga $\rho$ y en donde está el hueco imaginas que también hay una esfera con densidad de carga $-\rho$. Nota que no se sustituye el hueco por una esfera cargada, sinó la solución no sería correcta ya que la inicial no tenía carga en ese hueco, sinó que se sustituye por dos densidades de carga iguales y opuestas de manera que la carga neta en cada punto del hueco sea nula. Y así, como ya te ha dicho ageoo calculas el campo eléctrico por superposición del campo creado por ambas esferas cargadas.

Tendrás tres regiones del espacio donde el campo se calcula diferente:
1. En el hueco que es la suma de dos campos interiores de una esfera;
2. En la parte cargada de la esfera, que tendrás la suma de un campo interno y otro externo;
3. El exterior de la esfera donde tendrás la superposición de dos campos externos.

En el primero de los casos te saldrá un campo constante que depende de la distancia entre los centros de "las esferas cargadas", en particular si el hueco hubiera sido concéntrico con la esfera la distancia entre los centros sería cero y por tanto el campo nulo. Este resultado se podría haber obtenido por analogía con una esfera conductora en equilibrio electrostático, la carga se distribuye uniformemente en la superficie haciendo que el campo en el interior se anule.

¡Saludos!

[kuvala]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

Hola Buenas :

Antes que nada, muchas gracias por responder. Le he estado dando vueltas a lo que habéis comentado, pero hay cosas que siguen sin quedarme claras del todo, por ejemplo en el caso de hallar el campo en el punto 2 de la figura. Esto es lo que yo he hecho.

$r=R/2$

$\dst \rho =\frac{Q}{ \frac{4}{ 3} \pi {R}^{ 3}}$

Utilizando la Ley de Gauss en una superficie gaussiana esférica de radio R/2 tendremos que averiguar cuál es la carga encerrada dentro de esa superficie esférica.

Como la densidad de carga en el interior de esa esfera gaussiana tiene que ser igual que la de la esfera de radio R, tenemos que

$\dst \frac{{Q}_{ int} }{\frac{4}{ 3}\pi {r}^{ 3} }= \frac{Q }{\frac{4}{ 3}\pi {R}^{ 3} }$ $\to$ $\dst {Q}_{ int} =Q\frac{{r}^{ 3} }{ {R}^{ 3} }$

De la ley de Gauss tenemos

$\dst E4\pi {r}^{ 2}= Q\frac{{r}^{ 3} }{ {R}^{ 3} {\varepsilon }_{0 } }$ $\to$ $\dst E=\frac{rQ}{ 4\pi {\varepsilon }_{ 0}{R}^{ 3} }$

Sustituyendo r=R/2 obtenemos $\dst \vec{E}=\frac{kQ}{ 2{R}^{ 2} } \hat{\imath}$ que es la solución que se buscaba en el punto 2 de la figura.

Sin embargo, la solución me ha salido correcta a pesar de que no entiendo un concepto en particular.

Cuando hallo cuál es la cantidad de carga encerrada dentro de la superficie esférica gaussiana de radio R/2 (concéntrica con la de radio R) considero que "todo" lo que hay dentro de esa superficie está macizo, sin embargo, creo que no es así porque hay una parte que se encuentra hueca y por tanto, la carga interior no puede ser igual que la carga que tendría esa esfera si estuviese maciza, ¿no es así?

Muchas gracias.

Un Saludo

[Al2000]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

Es incorrecto, te faltó restar 0 (cero) que es el campo de la esfera pequeña en su centro. Mira la figura en este mensaje. Corresponde a un problema de campo magnético pero el principio que se aplica es el mismo, el principio de superposición.

Cuando calculas el campo de una distribución de carga cualquiera puedes considerarla dividida en dos o mas partes y sumar los campos que producen cada una de las partes. Lo haces corrientemente cuando sumas el campo de varias cargas puntuales y lo haces también cuando divides una distribución continua de carga en infinitos pedacitos de tamaño infinitesimal.

Pero lo que puedes hacer sumando también lo puedes hacer restando. En este caso la idea es que si bien el campo de una esfera con un hueco es difícil de calcular, el campo de una esfera maciza es fácil. Entonces calcular el campo de una esfera con un hueco esférico es fácil de hacer si lo planteas como el cálculo del campo de una esfera maciza menos el campo de la esferita que hay que quitar para hacer el hueco.

Saludos,

Al

[kuvala]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

Hola Buenas :

Cuando hallo cuál es la cantidad de carga encerrada dentro de la superficie esférica gaussiana de radio R/2 (concéntrica con la de radio R) considero que "todo" lo que hay dentro de esa superficie está macizo, sin embargo, creo que no es así porque hay una parte que se encuentra hueca y por tanto, la carga interior no puede ser igual que la carga que tendría esa esfera si estuviese maciza, ¿no es así?

Hola Al2000, muchas gracias por contestar. Llevas razón, me faltaba poner lo de restar el campo interior de la otra esfera, pero no lo puse porque pensaba que era obvio jeje. El método que se usa, es decir, el principio de superposición lo entiendo, lo que no entiendo es lo que he citado de mi post. He hecho una imagen (espero que se vea lo que quiero decir :P)



No me queda claro que el campo eléctrico en el punto 2 debido a una esfera maciza de radio R/2 sea igual que el creado por una esfera de igual radio pero a la que le falta un trozo. Desde mi punto de vista, a esa esfera le falta un trozo en la que se alberga carga y por tanto, el campo eléctrico debería disminuir respecto al campo de la esfera maciza.

Muchas gracias.

Un Saludo

[arivasm]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

Imagínate el campo que se origina en un punto cualquiera del interior de una esfera maciza descompuesto en dos partes: el que origina una "subesfera" centrada en el punto más el que origina el resto de la esfera (es decir, la primera menos la "subesfera"), que llamaré "resto", para entendernos. Señalaré que, aunque sea obvio, es totalmente lícito que hagamos esa separación, pues a fin de cuentas el campo será la suma de los campos que originan todas las partículas de la esfera original, y lo único que estamos haciendo es separar esa suma en dos partes.

La contribución de la "subesfera" al campo en dicho punto (que es su centro) es nula simplemente porque cada partícula que la componga tiene una compañera idéntica y situada simétricamente que anulará el campo que ha creado en dicho punto.

Consecuencia: el campo en el punto es el que origina la parte que he llamado "resto".

Por cierto, la conclusión es general para cualquier sistema uniformemente cargado: el campo en un punto no cambiará porque se extraiga una esfera concéntrica con dicho punto.

[kuvala]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

La contribución de la "subesfera" al campo en dicho punto (que es su centro) es nula simplemente porque cada partícula que la componga tiene una compañera idéntica y situada simétricamente que anulará el campo que ha creado en dicho punto.

Consecuencia: el campo en el punto es el que origina la parte que he llamado "resto".

Por cierto, la conclusión es general para cualquier sistema uniformemente cargado: el campo en un punto no cambiará porque se extraiga una esfera concéntrica con dicho punto.

Hola Buenas :

Creo que ya lo he entendido y ha sido a través de lo subrayado. Creo que esa es la clave para entender bien el concepto. El método de superposición lo entendía y sabía como aplicarlo, lo único que no me entraba en la cabeza es que si se quitaba un volumen esférico concéntrico con el punto donde se tiene que hallar el campo, el campo no variaba. Claro, teniendo en cuenta lo que comenta arivasm cuando dice que "cada partícula que la componga tiene una compañera idéntica y situada simétricamente que anulará el campo que ha creado en dicho punto", esto es lo que supongo que pasa en el caso general de hallar el campo en un punto interior de una esfera: las partículas que se encuentren concéntricas con ese punto no afectarán en el resultado final del campo debido a la simetría y por tanto, daría lo mismo que esa región estuviese maciza o hueca.

Otra cosa sería que tuviésemos la misma situación de la figura, pero que el punto 2 estuviese ligeramente desplazado a la derecha (es decir, que P2 no fuese el centro de la esferita), entonces ahí el campo resultante de la esferita en ese punto no sería nulo, ¿cierto? (en realidad sería igual que hallar el campo en el punto 3 de la figura)

Bueno, muchas gracias por todo a todos.

Un Saludo

[Al2000]

Re: Campo electrico creado por una esfera incompleta

...
Otra cosa sería que tuviésemos la misma situación de la figura, pero que el punto 2 estuviese ligeramente desplazado a la derecha (es decir, que P2 no fuese el centro de la esferita), entonces ahí el campo resultante de la esferita en ese punto no sería nulo, ¿cierto? (en realidad sería igual que hallar el campo en el punto 3 de la figura)
...

Lo simpático de ese ejercicio es que el campo en cualquier punto en el interior del hueco esférico tiene el mismo valor, es decir, el campo en en interior del hueco es uniforme Es sencillo de demostrar usando algebra vectorial para determinar el campo en cualquier punto interior al hueco.

Saludos,

Al