1r ciclo Problema: Campo eléctrico de un plano polarizado linealmente.

[GNzcuber]

¡Hola a todos!

Tengo un problema en el cual me quedo estancado y dice así:

Una lámina plana de ancho $a$ tiene una polarización $\mathbf{P}$ perpendicular a las caras de la placa que aumenta linealmente desde el valor $\mathbf{P}_1$ en una cara hasta $\mathbf{P}_2$ en la opuesta. Calcular el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Para calcular el campo necesito las cargas de polarización y las libres, en este caso no hay libres. Para saber el valor de las cargas de polarización necesito el valor de $\mathbf{P}$ a lo largo del ancho del plano.

Si considero el eje $z$ perpendicular al plano y con el origen en la primera cara tengo que el vector polarización es $\mathbf{P}=P(z)\mathbf{\hat{z}}$ y $P(z) = Az + B$

$$\displaystyle <br /> \left.\begin{aligned} P(0) &= B = P_1 \\ P(a) &= Aa + B = P_2 \end{aligned}\right\} \Rightarrow <br /> \left\{\begin{aligned} B &= P_1 \\ A &= \frac{P_2-P_1}{a}\end{aligned}\right.<br />$$

Por lo tanto

$$\displaystyle \boxed{\mathbf{P}(\mathbf{z}) = \left(\frac{P_2-P_1}{a}z + P_1\right) \mathbf{\hat{z}}}<br />$$

Como el vector normal a la superficie apunta hacia fuera del dieléctrico, tendré que $\mathbf{\hat{n}_1}\equiv -\mathbf{\hat{z}}$ y $\mathbf{\hat{n}_2} \equiv \mathbf{\hat{z}}$, entonces las distribuciones serán

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
A partir de ésto podría calcular el campo eléctrico separando las superficies donde hay diferentes tipos de carga, aplicar la ley de Gauss para cada una de ellas y en contrar el campo resultante en cada región del espacio por superposición.

Sin embargo es aquí cuando me hallo con el problema.

El campo eléctrico generado por las distribuciones superficiales corresponde al de un plano indefinido cargado superficialmente. Llamaré 1 al primer plano, 3 al segundo plano y 2 al plano con grosor $a$

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \mathbf{E}_1 &= <br /> \left\{ \begin{aligned} -\frac{\sigma_{P1}}{2\varepsilon_0}\mathbf{\hat{z}} && z<0 \\<br /> \frac{\sigma_{P1}}{2\varepsilon}\mathbf{\hat{z}} && z>0 \end{aligned}\right. \\<br /> \mathbf{E}_2 &= <br /> \left\{ \begin{aligned} -\frac{\sigma_{P2}}{2\varepsilon}\mathbf{\hat{z}} && z<a \\<br /> \frac{\sigma_{P2}}{2\varepsilon_0}\mathbf{\hat{z}} && z>a \end{aligned}\right.<br /> \end{aligned}$$

Pero ... ¿Para el plano con densidad volúmica?

Haciendo Gauss con un cilindro recto de altura $h$ ($h>a$ para el caso exterior y $h<a$ para el caso interior) de manera que las bases sean paralelas al plano obtenemos que la cara lateral no contribuye al flujo, si la mitad del cilindro coincide con $z=\frac{a}{2}$, me queda

$$\displaystyle <br /> \begin{gathered} <br /> \Phi = (E_{31} + E_{32})S = \frac{S}{\varepsilon_0}\int_0^a \frac{P_1-P_2}{a}\mathrm{d}z = \frac{P_1-P_2}{\varepsilon_0}S \\ <br /> E_{31} + E_{32} = \frac{P_1-P_2}{\varepsilon_0} \quad \text{campo exterior}<br /> \end{gathered}$$

Para calcular el campo interior considero que la base del cilindro se encuentra a una distancia $b<a$ de cada una de las caras del plano.

$$\displaystyle <br /> \begin{gathered}<br /> \Phi = (E'_{31} + E'_{32})S = \frac{S}{\varepsilon}\int_b^{a-b} \frac{P_1-P_2}{a}\mathrm{d}z = \frac{P_1-P_2}{a\varepsilon}S(a-2b) \\<br /> E'_{31}+E'_{32} = \frac{P_1-P_2}{\varepsilon}\left(1-\frac{2b}{a}\right) \quad \text{campo exterior}<br /> \end{gathered}$$

Donde $E_{31}$ y $E_{32}$ son los campos creados por la densidad volúmica de carga en la primera base del cilindro y la segunda respectivamente cuando éstas se encuentran en el exterior del plano, y análogamente $E'_{31}$ y $E'_{32}$ tienen el mismo significado pero dentro del plano.

Yo a partir de este punto no sé continuar, los campos en las superficies no tienen por qué ser iguales.

¿Alguna ayuda?

¡Gracias y saludos!

[Al2000]

Re: Problema: Campo eléctrico de un plano polarizado linealmente.

Si estamos hablando de un plano de grosor $a$ con densidad volumétrica constante $\rho$, entonces el campo vale $\dst \frac {\rho a}{2 \epsilon_0}$ en el exterior y $\dst \frac \rho {\epsilon_0}(z-a/2)$ en el interior.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Campo eléctrico de un plano polarizado linealmente.

Hola Al,

Veo que tengo serias dudas:

¿Independientemente de que el medio esté polarizado se usa $\epsilon_0$? En el ejercicio no se menciona en ningún momento la permitividad del medio, pero al estar polarizado debe tener una, aunque no hay ningún campo externo que provoque la polarización, sinó sabiendo la polarización podría haber deducido el externo mediante $\mathbf{P}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\mathbf{E}$.

Yo sin embargo al calcular el campo donde había densidad de carga en vez de poner $\epsilon_0$ he puesto $\epsilon$ ¿Es correcto?

¡Gracias y saludos!