Divulgación Potencial eléctrico

[Sarah]

Hola a todos, les pido ayuda en lo siguiente:
Un hilo cargado de longitud $L$ y densidad lineal de carga $\lambda'$ está sobre el eje $x$ negativo, con un extremo en el origen. El aro tiene una densidad lineal de carga $\lambda$. Finalmente una carga puntual $q$ está ubicada sobre el eje negativo a una distancia $L+a$ del origen. Calcule el potencial eléctrico sobre el eje $x$ positivo.

Muchas gracias a todos. He puesto la figura para descargar donde ilustra el problema, muchas gracias.

[Al2000]

Re: Potencial eléctrico

Si lo miras así en conjunto puede parecer un problema soberbio, pero si lo descompones en sus partes integrantes lo verás mucho mas digerible. Lo que tienes que hacer es buscar o determinar las ecuaciones que te den el potencial a cierta distancia de la carga puntual, del anillo y del filamento. Luego simplemente aplicar cada fórmula a la situación indicada y sumar las tres contribuciones.

El potencial de la carga puntual, que lo puedes conseguir deducido en cualquier libro de Fisica II, vale

$\dst V_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r$

siendo $r$ la distancia de la carga puntual al punto del espacio en donde calculas el potencial. Entonces, a la distancia $r = L + a + x$, la carga puntual producirá un potencial

$\dst V_{(x)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {L+ a + x}$

El potencial en el eje de un anillo, que también lo puedes conseguir como ejemplo en tu texto, vale

$\dst V_{(z)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {\sqrt {z^2 + a^2}}$

siendo $Q$ la carga del anillo y $z$ la distancia desde el centro del anillo. Poniendo $Q = 2 \pi a \lambda$ y la distancia $z = x$, quedaría

$\dst V_{(x)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {2 \pi a \lambda}{\sqrt {x^2 + a^2}} = \frac {\lambda a}{2 \epsilon_0} \frac 1 {\sqrt {x^2 + a^2}}$

Finalmente, el potencial eléctrico del filamento si deberás deducirlo por tu cuenta pues probablemente no lo encontrarás como ejemplo en el texto. Divide el filamento en pedacitos de tamaño infinitesimal y suma el potencial que produce cada elemento de carga:

$\dst V_{(x)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int_{-L}^{0}\! \frac {\lambda'\,dx'}{x' + x} = \frac {\lambda '} {4 \pi \epsilon_0} \ln \frac {x}{x-L}$

Ahora sólo tienes que sumar las tres expresiones. Saludos,

Al