Otras carreras Trabajo para armar un cascaron

[NKT]

Hola. Tengo una duda para resolver este problema.

Hallar el trabajo para armar una esfera de radio R y densidad volumétrica de carga $\rho$.

Sé que hay que ir trayendo cargas $\dd$q desde el infinito, pero quiero saber como varia el potencial en la esfera que se va formando, ¿o debo asumirlo como una carga puntual?, y ademas como expresar el trabajo. ¿Serían dos integrales?, ¿una para el potencial y otra para el trabajo?.

[arivasm]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Recurre a la energía potencial. Cuando el cascarón está completamente desarmado es 0. Así pues, el problema es calcularla cuando ya está completo. Para ello puedes usar $U=\int V \dd q$ (además el potencial $V$ es el mismo para todos los elementos de carga de la esfera)

[Al2000]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Con tu venia, me permito corregir la expresión que usaste. Se puede calcular la energía como $U = \frac 1 2 \int V\,dq = \frac 1 2 \int \rho V\, dv$, extendiendo la integral a todo el volumen de la esfera. También podría hacerse calculando la energía del campo eléctrico, $U = \frac 1 2 \int \epsilon_0 E^2\, dv$, extendiendo la integral a todo el espacio.

En concreto:

$$V_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> & \frac \rho {6 \epsilon_0} \left(3 R^2 - r^2 \right), & 0 \leqslant &r \leqslant R \\<br /> & \frac {\rho R^3}{3 \epsilon_0 r}, & R \leqslant &r < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

de donde

$$U = \frac 1 2 \int \rho V_{(r)}\, dv = \frac 1 2 \int_{0}^{R}\!\! \rho \cdot \frac \rho {6 \epsilon_0} \left(3 R^2 - r^2 \right) \cdot 4 \pi r^2 \, dr = \boxed {\frac {4 \pi \rho ^2 R^5}{15 \epsilon_0}}$$

Usando el campo sería

$$E_{(r)} = <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> & \frac {\rho r} {3 \epsilon_0}, & 0 \leqslant &r \leqslant R \\<br /> & \frac {\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2}, & R \leqslant &r < \infty <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

y entonces

$$U = \frac 1 2 \int \epsilon_0 E_{(r)}^2\, dv = \frac 1 2 \left[ \int_{0}^{R}\!\! \epsilon_0 \cdot \left(\frac {\rho r} {3 \epsilon_0}\right)^2 \cdot 4 \pi r^2 \, dr + \int_{R}^{\infty }\!\! \epsilon_0 \cdot \left(\frac {\rho R^3} {3 \epsilon_0 r^2}\right)^2 \cdot 4 \pi r^2 \, dr \right]$$

llegando al mismo resultado.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Sí Al. Como siempre tienes toda la razón y además debí haberlo recordado.

Quizá conviene aclarar el factor 1/2, para que nuestro amigo/a NKT entienda por qué debe ponerse, y así que no le suceda como a mí.

Si pensamos en un conjunto de $n$ cargas, la energía potencial no es

$\dst \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i, j=1}^n k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}=\sum_{i=1}^n q_i \sum_{j\neq i, j=1}^n V_j(\vec r_i)=\sum_{i=1}^n q_i V(\vec r_i)$,

que en el fondo sería lo que justificaría la expresión incorrecta que escribí yo, sino que es una suma parecida, pero que se extiende a los *pares* de cargas, que son los que determinan el número de energías potenciales en el sistema.

Digamos que mi fórmula incorrecta implicaría que la energía potencial de un sistema de, por ejemplo, 3 cargas se calcularía según $U_{12}+U_{13}+U_{21}+U_{23}+U_{31}+U_{32}$, cuando en realidad se calcula mediante $U_{12}+U_{13}+U_{23}$. Pero, como vemos, el valor de esta suma es la mitad de la anterior (pues $U_{ij}=U_{ji}$).

En definitiva, si no se incluye el factor 1/2 estaremos contando dos veces la interacción entre dos elementos de carga de la distribución.

[arivasm]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Esta mañana, camino de mi trabajo, estuve pensando en por qué Al enfocó el problema de una manera tan complicada, en lo que se refiere a la integral, cuando en un cascarón esférico es muy sencillo: es uniforme en toda la esfera y la energía potencial será simplemente $\frac{1}{2}kQ^2/R$. Ahora veo la razón: aunque NKT había titulado el hilo "Trabajo para armar un cascarón", el problema en realidad trataba sobre armar una esfera homogénea.

Así pues, por una parte diré que no queda más remedio que aplicar cualquiera de los métodos que expone Al, y por otra recomendaré a NKT que evite que haya contradicciones entre los títulos y los contenidos de los hilos.

[NKT]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Muchas gracias por la ayuda, ya me quedo claro. La confusion del titulo se debio a que el problema original era para armar un cascaron de radio interior "a" y radio exterior "b", pero escribiendo el mensaje decidi modificarlo pero me olvide de modificar el titulo. Disculpen.

Por cierto para el cascaron que hago mención, simplemente sería modificar los limites de la integral desde "a" hasta "b" en lugar desde 0 a R, ¿cierto?.

Saludos.

[Al2000]

Re: Trabajo para armar un cascaron

[NKT]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Lo he trabajado con la expresion $U= \int\ V d q$ y he llegado a la misma respuesta que Al, pero la expresión del potencial que use fue distinta a la de el, pues yo use: $V= \frac{\rho {r}^{2}}{{3 \epsilon }_{0} }$.

En todo caso, en que ocasiones debo colocar el factor 1/2

[NKT]

Re: Trabajo para armar un cascaron

Sigo teniendo dudas sobre ese factor 1/2, pues encontré el mismo problema y no utilizan dicho factor para calcular el trabajo. Vean: http://cabierta.uchile.cl/libros/c-utreras/node55.html

A ver si me pueden ayudar a entenderlo.

[arivasm]

Re: Trabajo para armar un cascaron

El factor 1/2 es imprescindible cuando el cálculo se hace tomando en consideración productos del tipo "todas las cargas por todas las cargas", es decir, habiendo repeticiones. En la referencia que citas $\dd Q$ es la carga de los cascarones, mientras que $Q(r)$ es la carga que éstos tienen *debajo*. Por tanto, al hacer el cálculo $\dd Q\cdot Q$ ya están excluidas las repeticiones.

Volviendo al ejemplo que puse de sistemas de N cargas discretas, la razón sería ésta (fíjate en los índices de las sumas y sus rangos):

$\dst U= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i, j=1}^n k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}=\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$