Secundaria Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

[Ingun]

Hola a todos, y como siempre, gracias por dedicar unos minutillos a este hilo.

La cuestión: la suma de energías U (potencial eléctrica) y K (cinética) se conserva, si no he entendido mal, siempre que se apliquen sólo fuerzas conservativas -en este caso, fuerzas electroestáticas-.
En el caso de un tubo catódico o de rayos X, la energía de los electrónes en el ánodo y en el cátodo se igualan así:

Ka + Ua = Kc + Uc

En mi libro, suponen Ka = 0 y se quedan tan anchos. Mi pregunta: (A) ¿Es Ka = 0 en el ánodo porque los electrones aún no se han empezado a desplazar hacia el cátodo? Eso significa que la energía cinética en el cátodo, Kc, será la más elevada de todo el recorrido, porque habría una aceleración. (B) ¿es así?

Tengo otra duda, aunque pido disculpas porque tal vez debería ir a newtoniana, pero como está muy relacionado, he decidido ponerlo aquí. Para la energía mecánica sabemos que

Em = K + U. Si no hay fuerzas no conservativas (como el rozamiento), (C)¿Se conserva la energía, por el principio de conservación de la energía? Me figuro que sí.

Si se conserva la energía, de manera análoga a la energía electromagnética, (D) ¿por qué se menciona en el libro que la energía tanto K como U es 0, ambas, en un punto infinitamente alejado de la Tierra? Sobre todo si luego hace la igualación:

Kp + Up = Ki + Ui ---> Kp + Up = 0 ¿Cómo puede tener energía 0? Ello lo utiliza como ejemplo para calcular la velocidad de escape de un cohete de la Tierra.

Muchas gracias a todos por vuestra atención.

[arivasm]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

(A) No. Sólo es una aproximación: la energía cinética inicial de los electrones es despreciables frente a la que adquieren gracias al campo eléctrico.
(B) Sí.
(C) Sí.
(D) No se entiende bien a qué te refieres. Quizá sea un cuerpo lanzado hacia el infinito sólo bajo la influencia del campo gravitatorio de una única masa.

La energía potencial gravitatoria es 0 cuando la partícula llega al infinito porque la expresión que se maneja para la energía potencial se elige precisamente para que sea así. Recuerda que dado un campo de fuerzas conservativo hay infinitas formas de establecer la energía potencial, todas ellas diferenciándose en una constante, y que una metodología para deshacer esa indeterminación consiste en elegir una situación de referencia, o cero para la energía potencial. En gravitación es muy común que se tome la de las masas infinitamente separadas.

La energía cinética de una partícula que alcanza el infinito no tiene por qué ser 0. Si ciertamente llega al infinito podrá ser cualquier valor no negativo. Por tanto, es posible que el libro se refiera a un problema muy determinado, como puede ser el de la trayectoria de escape (aquélla en la que la velocidad es en cada punto igual a la de escape, o también la de mínima energía para alcanzar el infinito), en cuyo caso sí es 0 la energía cinética en el infinito.

[Ingun]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Mmm, gracias por tu respuesta.

Entiendo que la energía potencial en el infinito sea 0 puesto que la distancia es tan grande que con respecto la tierra, G(producto de masas)/distancia = 0. Lo que no comprendo es que la energía cinética sea en este caso 0, especialmente si Em = U + K, yo creo que en el infinito, la Em = K, pero nunca 0.

Por eso no entiendo bien el porqué de esa simplificación en mi libro.

No sé si he podido transmitir mi duda mejor. Muchas gracias!

[arivasm]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Insisto, tienes razón en que no necesariamente será $K=0$ en el infinito. Tal como dices, se cumple que $E_m=K_{r=\infty}$ (y la energía mecánica puede tomar cualquier valor). ¿En qué contexto se produce la simplificación que indicas?

[Ingun]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Hola Arivasm, gracias de nuevo.

Para intentar explicarme mejor, voy a poner el ejemplo más sencillo de mi libro dónde queda ilustrada la duda. Resumido:

(A) Hemos de calcular la velocidad de escape de un objeto con respecto a la Tierra.

En la Tierra, la energía pontencial es de Ut = G(me * m) / Re, donde me es la masa de la Tierra, y Re su radio, despreciando alturas.
Sabemos que a una distancia infinita de la tierra, Ui = 0 (está claro que a "esa distancia" el potencial gravitatorio será 0, es visible también matemáticamente. Hasta aquí, ok).
Ahí va la frase del libro: "al querer hallar la velocidad mínima que ha de tener el objeto para poder escapar, suponemos que tiene enegía cinética 0 al llegar al infinito (Ki = 0). La energía mecánica del cohete es una constante, de modo que:

Ui + Ki = Ut + Kt = 0.
"

Sí, desarrollando la ecuación al final salen los conocidos 11.2 m/s, pero esa simplificación a 0 no la entiendo. (1) ¿Cómo puede ser que la energía cinética sea 0 en el infinito, al igual que la energía potencial gravitatoria? (2) Entiendo que la energía mecánica pueda ser 0 si K = -U, pero que lo sea porque ambas valgan 0, no entiendo qué condiciones físicas deben darse para poder hacer esto, y mucho menos en las condiciones físicas de este ejemplo. ¿Cómo es posible?

Bueno, pues muchas gracias y un saludo!

[arivasm]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Para que entiendas mejor lo de la velocidad 0 en el infinito te pondré este otro ejemplo: imagina que estás en una habitación y tienes un dispositivo que lanza una masa verticalmente desde el suelo; el dispositivo es tal que se puede elegir la velocidad inicial del objeto. Supongamos que tu objetivo es que el objeto alcance el techo. ¿Cuál será la velocidad inicial mínima, $v_{0,min}$? Evidentemente la que corresponda con que llegue al techo, pero con velocidad 0 en dicho lugar. Si la velocidad inicial es mayor que $v_{0,min}$ también llegará al techo, pero con una velocidad no nula; si es menor simplemente no llegará al techo.

La velocidad de escape es exactamente lo mismo, pero con el techo en el infinito.

Una última cosa:

En la Tierra, la energía pontencial es de Ut = G(me * m) / Re, donde me es la masa de la Tierra, y Re su radio

la energía potencial (tomando el 0 en el infinito) tiene un signo -, es decir, para el cuerpo en la superficie de la Tierra es $\dst U=-G \frac{m_e m}{R_e}$

[Ingun]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Hola arivams, y gracias por la respuesta. Entonces, entiendo que la aceleración con respecto a la Tierra es siempre negativa, tendiendo a reducir la velocidad hasta que "al llegar al infinito" sea 0. Comprende que es bastante difícil entender que K y U = 0 sean ambas 0 en alguna situación.

Una última cosa: si el objeto parte de velocidad 0 y debe alcanzar los 11.2 m/s, en algún momento ha tenido que acelerarse positivamente. He estado pensando en eso, y me figuro que el libro habrá considerado una aceleración enorme de tal manera que la velocidad mínima, 11.2 m/s, la considera como "instantánea". Y otro detalle: si la velocidad fuera, por ejemplo, de 20 m/s (esto es, superior a la velocidad de escape), significaría que en el infinito, la energía cinética no es 0, al igual que en el ejemplo del techo. (A) ¿Es así?

Muchas gracias por la respuesta. Ha sido muy clarificadora. =)!!!

[arivasm]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Antes de nada, no es 11,2 m/s, sino 11,2 km/s. Si no fuese así, ¡sería peligroso dar saltos! (unos humildes 40 km/h te mandarían al infinito!).

Sobre la aceleración necesaria para alcanzar esa velocidad. El ejercicio prescinde de cómo se logra, pues sólo presta atención a lo que sucede después. Evidentemente, si nos centramos en esa otra parte del movimiento será necesario el concurso de alguna fuerza ajena a la gravedad y de sentido contrario. No necesariamente debe ser tan sumamente brusca. Ya hemos enviado una buena colección de objetos con energía suficiente como para ponerlos fuera del alcance del campo gravitatorio terrestre (e incluso algunos del campo gravitatorio solar, las Voyager, por ejemplo). ¿Cómo lo hacemos? pues con un cohete que acelera paulatinamente (no se llega ni a 10g) hasta lograr esa velocidad. Bueno, en realidad el truco es otro: primero se les pone en órbita (baja) alrededor de la Tierra, lo que ya implica unos 7 km/s, y luego se les da un último empujón (el motivo está en que en la primera etapa el cohete también se eleva a sí mismo -en el fondo es el viejo truco del cohete por fases-).

Por cierto, me anticipo a una posible pregunta tuya: la velocidad de escape en la órbita baja (unos 300 km de altura) no difiere demasiado de la superficial (pues 300 km no es mucho en comparación con los 6370 km del radio terrestre).

Por último, lo que dices sobre una velocidad de 20 km/s es correcto: el objeto llegaría al infinito con energía cinética no nula. Vamos, que haría como Buzz Lightyear: "hasta el infinito y más allá!"

[Ingun]

Re: Fuerzas conservativas y conservación de la energía.

Muchas gracias arivasm. Un poco más de mundo comprendido en mi haber =). ¡Saludos!