Divulgación Interpretación

[natanael]

De la wikipedia saco que en el vacío y en coordenadas cilíndricas se tiene

$\vec{B}(\rho)= \frac {\mu_0 I_0} {2\pi\rho} \hat{\phi}$

para el hilo de corriente infinito, y si no me equivoco, su equivalente en cartesianas es, siendo $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\hat{\phi}=-\sin \phi \hat{\imath} +\cos \phi \hat{\jmath}$

$\vec{B}(x,y)= \frac {\mu_0 I_0} {2\pi} \left( -\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\imath} +\frac{x}{x^2+y^2}\hat{\jmath} \right)$

pero resulta que si le saco el rotacional a esa expresión me da cero $\vec\nabla\times\vec B (x,y) = 0$ y la ley de Ampere esta formulada así

$\vec\nabla\times\vec B = \mu_0 \vec J + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Placere auxilium!

[Al2000]

Re: Interpretación

Como debe ser, puesto que en cualquier punto del espacio, excepto (0,0,z), la densidad de corriente es cero. En (0,0,z) el campo no está definido (probablemente los chicos de Física lo puedan definir usando una función delta). De todas formas, y si te quieres matar el piojo, intenta con el campo magnético en puntos interiores de una corriente distribuida uniformemente en un cilindro de radio $R$, $\dst \boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi R^2} \rho \boldsymbol u_\phi = \frac 1 2 \mu_0 J \rho \, \boldsymbol u_\phi$.

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Interpretación

Una vez más, gracias.

Y, para completar, entonces una forma de definir el campo en todas partes sería

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Al2000]

Re: Interpretación

Edito tu expresión:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Interpretación

Al, veo que tienes un entendimiento muy claro sobre el asunto, así que voy a tratar aprovechar y sustraer todo lo que pueda, para tratar de erradicar todas mis lagunas mentales que he acarreado hasta los momentos, así que disculpa el abuso pero esto lo que me genera son más preguntas.

Supongamos que $\frac {\mu_0 I} {2\pi}=1$ y $R=2$, por tanto tenemos que gráficamente los campos tienen la forma siguiente




Mathametica 7.0

$\dst \vec{B}(x,y)=\frac{1}{4}\left( -y\hat{\imath} +x\hat{\jmath} \right) \to$ VectorPlot[{-y/4, x/4}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, VectorPoints -> 14]

$\dst \vec{B}(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} \hat{\imath} +\frac{x}{x^2+y^2} \hat{\jmath} \to$ VectorPlot[{-y/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2)}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4},
VectorPoints -> 14]

Ahora bien, si calculamos una integral de linea a través de un camino cerrado, embebido en la región donde está definido el campo $\vec{J}$, por ejemplo el camino ABCDA, el cual, desde mi punto de vista, es fácil ver que debería dar diferente de cero, ya que en las trayectorias AB y CD la integral da cero por la perpendicularidad del campo con el camino, y que en las trayectorias BC y DA los campos defieren en magnitud y en la longitud recorrida. Y bueno... la razón más teórica que es que la región bordeada por dicha trayectoria es está siendo atravesada por cierta cantidad de corriente. Pero si calculo la integral de línea en la trayectoria EFGHE dá cero, y esto también es obvio por las mismas razones de perpendicularidad sobre las trayectorias EF y GH, y por la compensación que existe entre las magnitudes del campo y la longitud recorrida en las trayectorias FG y HE, si bien es cierto que la trayectoria FG es más larga que HE, la intensidad del campo en torno a la misma es más pequeña que intensidad que existe en la trayectoria HE, por lo tanto debe existir un especie de compensación que iguale las integrales sobre FG y HE y las haga cero. Pero la razón más sencilla será que la superficie bordeada por EFGHE no está siendo atravesada por ninguna corriente eléctrica. Ahora esto yá no es cierto para un integral de línea cuya trayectoria contenga en su interior al punto x=0 y y=0 (del campo definido para $\rho \geqslant R$), la integral dá distinto de cero.

Aquí es donde... no es que no entienda nada en absoluto, la cuestión es, cómo "sabe=(de saber)" la operación "integral de línea", que la trayectoria está encerrando, o que la superficie que bordea dicha trayectoria está siendo atravesada por una $\vec{J}$. Si la forma de definir la el campo en todos lados es por medio de una fución definida a trozos, es decir sólo nosótros sabemos que en la región $0 < \rho \leqslant R$ el campo a utilizar es $\dfrac{\mu_0 I} {2\pi R^2}\rho\hat{\phi}$, pero cuando se hace el cálculo $\oint \vec{B}\cdot \dd \vec{r}$ sobre, por poner un ejemplo una circunsferencia de radio $r>R$, el campo que se utiliza es $\dfrac {\mu_0 I} {2\pi\rho}\hat{\phi}$, que es irrotacional en todos lados, inclusive en la región $0 < \rho \leqslant R$.

[Al2000]

Re: Interpretación

Lo siento, natanael, me perdí... no entiendo cual es tu duda.

Y un poco off topic, te pregunto yo ¿Mathematica no te permite definir una fución a trozos?, algo así como

VectorPlot[{if(x^2 + y^2 > 4, -y/(x^2 + y^2), -y/4), if(x^2 + y^2 > 4, x/(x^2 + y^2), x/4)}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, VectorPoints -> 14]

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Interpretación

Si, increíble, es 100% seguro que cada día se aprende algo nuevo, bueno... con la única corrección de que los condicionales if, empiezan por mayúsculas y el argumento de las funciones definidas en el Mathematica van entre corchetes [], es decir

VectorPlot[{If[x^2 + y^2 > 4, -y/(x^2 + y^2), -y/4], 
  If[x^2 + y^2 > 4, x/(x^2 + y^2), x/4]}, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, 
 VectorPoints -> 14]

ciertamente ahora sí que se aprecia mucho mejor como debería ser el campo magnético en todas las regiones, dentro y fuera del conductor de radio 2 unidades.

Volviendo a la inquietud que tengo. Sea $\vec{B_I}$ el campo magnético en el interior del conductor de radio 2 unidades y $\vec{B_E}$ el campo exterior a el, como se muestra en la última figura. Ahora imagina una trayectoria cerrada $C$ dada por la circunsferencia de radio $r$, y centro $(h,k)$, ahora, si calculas las circulaciones magnéticas dadas por

1) $\oint_C \vec{B_E} \cdot\dd \vec{r}$ con $C$ definida por $h=-3,\,k=-3,\,r=\frac{1}{2}$ y $\vec{B_E} =\frac {\mu_0 I} {2\pi\rho}\hat{\phi}$, con esas condiciones te debería de dar cero, concluyo que estaría bien porque no hay una $\vec{J}$ atravezando a una arbitraria superficie que borderara $C$, es decir $\vec{\nabla} \times \vec{B_E}= 0$.

2) ahora, $\oint_C \vec{B_I} \cdot\dd \vec{r}\neq 0$ con $C$ definida por $h=0,\,k=-1,\,r=\frac{1}{2}$ y $\vec{B_I} =\frac{\mu_0 I} {2\pi R^2}\rho\hat{\phi}$, puedo concluir que está bien porque ahora hay una $\vec{J}$ atravezando a cualquier superficie arbitraria que bordeara $C$, es decir $\vec{\nabla} \times \vec{B_I}\neq 0$.

3) $\oint_C \vec{B_I} \cdot\dd \vec{r}\neq 0$ con $C$ definida por $h=0,\,k=0,\,r=1$ y $\vec{B_I} =\frac{\mu_0 I} {2\pi R^2}\rho\hat{\phi}$ , y sigo concluyendo que está bien porque sigue habiendo una $\vec{J}$ atravezando a cualquier superficie arbitraria que bordeara $C$.

4) y lo que no entiendo es que $\oint_C \vec{B_E} \cdot\dd \vec{r}\neq 0$ con $C$ definida por $h=0,\,k=0,\,r=3$ y $\vec{B_E} =\frac {\mu_0 I} {2\pi\rho}\hat{\phi}$, aquí es donde se me complica la cosa, si uno escoje a $\vec{B}$ de tal forma que esté definida en la región donde exista $C$, entonces me imagino que escogí bien en que $\vec{B_E}=\frac {\mu_0 I} {2\pi\rho}\hat{\phi}$, pero ese campo es irrotacional en todas partes (es decir no hay una $\vec{J}$ atravezando a $C$) menos en (0,0), entonces esa integral con $C$ definida por $h=0,\,k=0,\,r=3$ no debería de dar cero?