Otras carreras Desarollo en Series, Corona Circular, Campo Electrico

[victorsergio]

Que tal, necesito ayuda con este problema, si me pudieran ayudar se los agradeceria mucho:

Un disco delgado con un agujero circular en el centro, llamado corona circular, tiene un radio interior R1 y un radio exterior R2 . El disco tiene una densidad superficial de carga
uniforme y positiva s en su superficie.

c) Demuestre que en puntos sobre el eje x que estén suficientemente cerca del origen, la magnitud del campo eléctrico es aproximadamente proporcional a la distancia entre el
centro de la corona circular y el punto. ¿Qué tan cerca es “suficientemente cerca”?

Tengo la carga, y

obtuve que el campo E es este:


El problema es que no se como hacer el inciso c) el profesor me dijo que para eso tenia que desarollar esos 2 terminos en una serie, y que asi llegaba al resultado. Podrian ayudarme a solucionar eso, 1) no se para que tengo que desarollarlo en una serie, 2) que serie es? 3) como puedo solucionar eso?

El solucionario del libro dice:

y dice que eso es aproximadamente |x|/R1 y que suficientemente cerca es (x/R1)^2 <<1

Como llegan a esto?

Agradecería mucho su ayuda.

El ejercicio es el capitulo 21 numero 104 (21.104) de física universitaria Sears Zemansky

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Re: Desarollo en Series, Corona Circular, Campo Electrico

Hola,

Una forma alternativa de ver que para punto cercanos al origen el campo es proporcional a la distancia entre el centro de la corona circular y el punto, es calcular el campo eléctrico de la corona y expresarlo de la siguiente manera.

Supongo que para calcularlo habrás considerado la corona como una serie de anillos concéntricos, cada uno con un cierto radio $r$ y espesor $\mathrm d r$. El campo creado por cada uno de estos anillos sería:

$$\mathrm{d}\vec E=\dst\frac{\mathrm{d}Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2+z^2)^{3/2}}\vec u_z$$

Otenemos la cantidad de carga, diferencial, contenida en el anillo, sabiendo que la densidad de carga de la corona es uniforme y que el área del anillo equivale a su longitud por su anchura:

$$\mathrm{d}Q=\sigma \mathrm{d}S=\sigma (2\pi r)\mathrm{d}r$$

Obtenemos finalmente el campo integrando:

$$\vec E=\dst\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dst\int_{R_1}^{R_2}\dst\frac{\sigma (2\pi r)\mathrm{d}r}{r^2+z^2)^{3/2}}=\boxed{\dst\frac{\sigma z\vec u_z}{2\varepsilon_0}\left(\dst\frac{1}{\sqrt{R^2_1+z^2}}-\dst\frac{1}{\sqrt{R^2_2+z^2}}\right)}}$$

Con esta expresión, se ve fácilmente que para puntos cercanos al origen, $z\ll R_1$ y $z\ll R_2$ de modo que la expresión anterior queda:

$$\vec E=\dst\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\dst\frac{1}{R_1}-\dst\frac{1}{R_2}\right)\vec u_z$$

De ahí, se ve fácilmenter que:

$$\boxed{E\propto z}$$

Para $x$ cercanos al origen. Esa es la forma más rápida que se me ocurre sin pasar por el desarrollo de la serie. Espero que con esto lo veas un poco más claro, al menos se ve así bien la proporcionalidad directa. Seguro que hay gente en el foro que te proporciona una respuesta más ingeniosa.

Saludso,