Divulgación Campo magnético

[Esteban Duran]

Hola a todos, les quiero pedir ayuda en un ejercicio que he encontrado en el libro Berckeley de Edward M. Purcell, y necesito ayuda. De antemano gracias.


La corriente $I$ circula por los armazones de hilo de la figura.

a) ¿Cuál es el módulo y dirección del campo magnético en $P$ , el centro del cubo?



b) Demostrar, usando el principio de superposición, que el campo en P es el mismo si el armazón se reemplaza por el único bucle cuadrado que se muestra a continuación.




Gracias

[Al2000]

Re: Campo magnético

¿Tienes alguna idea de cómo resolver el inciso a)?

[Esteban Duran]

Re: Campo magnético

Hola AL200 bueno yo sé que debo usar la expresión:

$d\vec{B}=\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}$$I$$\displaystyle\frac{d\vec{s}\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}$ donde $\vec{r}$ es el punto del origen del sistema de coordenadas que tomé al punto P donde quiero calcular el campo magnético, en este caso es cero pues el origen esta colocado justo en el punto; y $\vec{r'}$es la distancia desde el origen hasta donde está la densidad de corriente,pero ahora para calcular el campo tengo que integrar pero no sé como integrar esta forma tan extraña ¿sería como un rectangulo de 4b x 2b? espero que me ayude a resolverlo, gracias y saludos.

[Al2000]

Re: Campo magnético

Si bien es posible parametrizar la curva y resolver toda la integral para obtener el campo (lo cual podría ser interesante), creo yo que ese sería el recurso del que no sabe lo que tiene que hacer y deja que la matemática haga todo el trabajo Yo sugeriría atacar el problema de la siguiente manera:

- Reconocer que se trata de la suma de los ocho campos, todos iguales en magnitud, que producen ocho corrientes rectilíneas finitas en un punto sobre su línea media.

- Calcular el campo que produce una corriente de longitud $2 b$ a la distancia $\sqrt 2\, b$ sobre su línea media. Deberías obtener $\dst \boldsymbol B = \frac {\sqrt 6 \mu_0 I}{12 \pi b}\, \boldsymbol u_\theta$

- Hacer la suma de los ocho vectores. En lugar de intentar hace la suma a lo bruto, analizar que campos se anulan entre si y cuales se suman.

Fíjate que si haces un análisis del plano XZ y te concentras únicamente en las cuatro corrientes perpendiculares a este plano, conseguirás que sus campos se anulan mutuamente. Las otras cuatro corrientes las puedes analizar de dos en dos mirando las corrientes perpendiculares a los planos XY y YZ, para notar que sólo quedan las componentes Y de cada campo, siendo todas estas componentes iguales pues los campos tienen la misma magnitud y todos forman un ángulo de 45° con el eje Y.

En definitiva conseguirás que el campo total es cuatro veces la componente Y del campo de una de las corrientes.

Claro, todo este análisis nos lo hubiesemos podido evitar si hubiesemos podido hacer primero el inciso b). Para demostrar lo que te piden, primero reconoce que si sumas cero no alteras nada, de manera que si pones dos espiras cuadradas, una en el tope del cubo y otra en el piso (según el dibujo), con corrientes en sentido horario la primera y antihorario la segunda (mirando desde arriba), entonces se anulan todas las corrientes que fueron suprimidas en el segundo dibujo:



Échale coco al asunto, y si te aparecen dudas vuelve a preguntar.

Saludos,

Al

[Esteban Duran]

Re: Campo magnético

Gracias AL por tu buena voluntad, hoy he ido a preguntarle a la profesora y me ha dicho que espera que resolvamos el ejercicio como si no supieramos nada, es decir parametrizando la curva como me has dicho tu, y luego aplicando la ecuación que te he colocado arriba, pero para ello debo hallar el diferencial de líneal $\vec{ds}$ y también $\vec{r'}$ lo he pensado, pero nosé cómo hallarlo, espero su ayuda, muchas gracias se lo agradeceré de por vida.

[Al2000]

Re: Campo magnético

Bueno, pongamos un poquito de jazz en el fondo mientras te explico el cálculo para un lado. De allí tu seguramente sabrás continuar.

Empecemos por parametrizar la curva. Estamos claros en que no hay una parametrización única, así que te pongo aquí una de las muchas:

Segmento 1: $(b,b,-b) \to (b,-b,-b): \quad (b,b-2bt,-b) = (1,1-2t,-1) b$

Segmento 2: $(b,-b,-b) \to (-b,-b,-b): \quad (b-2bt,-b,-b) = (1-2t,-1,-1) b$

Segmento 3: $(-b,-b,-b) \to (-b,b,-b): \quad (-b,-b+2bt,-b) = (-1,-1+2t,-1) b$
...
Segmento 8: $(b,b,b) \to (b,b,-b): \quad (b,b,b-2bt) = (1,1,1-2t) b$

Para cada una de las "curvas" anteriores, el parámetro $t$ varía entre 0 y 1. Si tu quieres expresar la curva completa que define la corriente corriendo el parámetro continuamente, deberás ajustar los valores de $t$ en cada segmento. Por ejemplo, si quieres que el segundo segmento empate con el primero de manera que el parámetro varíe continuamente desde 0 hasta 2, deberás sustituir $t$ por $t-1$ en la ecuación de la curva del segundo segmento. Ese trabajito, aplicado a los ocho segmentos, yo no pienso que valga la pena hacerlo. Es preferible resolver la integral segmentadamente variando el parámetro de 0 a 1 en cada integral (segmento).

A la hora de calcular el campo de cada segmento ya lo que tienes que hacer es determinar $\boldsymbol r$ y $d \boldsymbol \ell$ (tu los llamas $\vec {r'}$ y $d \vec s$) y evaluar la integral entre 0 y 1.

Por ejemplo, para el segmento 1:

$C: (1,1-2t,-1) b \quad \Rightarrow \quad d \boldsymbol \ell = (0,-2,0) b \, dt$

$\boldsymbol r = (-1,-1+2t,1) b \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt {3 -4t + 4t^2}\,b$

$d \boldsymbol \ell \times \boldsymbol r = (-2,0,-2) b^2$

$\dst \boldsymbol B = \frac {\mu_0 I}{4 \pi } \int_C \frac {d \boldsymbol \ell \times \boldsymbol r}{r^3} = \frac {\mu_0 I}{4 \pi } \int_{0}^{1}\!\! \frac {(-2,0,-2) b^2}{(\sqrt {3-4t+4t^2}\,b)^3}\,dt = \frac {\sqrt 3 \mu_0 I}{12 \pi b}\,(-1,0,-1)$

Y así vas con cada segmento, para luego sumar los ocho campos. Si queda cualquier duda con el procedimiento y/o la notación, pregunta de nuevo.

Saludos,

Al

EDITO: Corrijo algo que puse ariiba. Lo que tu llamas $\vec r - \vec {r'}$ es lo que yo llamé $\boldsymbol r$

[Esteban Duran]

Re: Campo magnético

Muchas gracias Al