1r ciclo Capacidad de un condensador cilíndrico.

[Mitor]

Buenas,

Tengo un ejercicio en el que se me pide calcular la capacidad de un condensador de dos cilindros coaxiales.

La duda que tengo es realmente a qué se refiere la V de la fórmula $\displaystyle\frac{Q}{V}$

Sé que es la diferencia de potencial, pero mi libro no especifica entre qué puntos, es decir, ¿Puedo utilizar la fórmula $\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{k}{r}\, dq$

En el libro lo tengo resuelto mediante el uso de la fórmula $dV=-\vec{E}\vec{dl}$, pero claro, estoy en las mismas, porqué no sé en qué punto he de calcular el campo eléctrico.

Muchas gracias por vuestro tiempo.

[Julián]

Re: Capacidad de un condensador cilíndrico.

La duda que tengo es realmente a qué se refiere la V de la fórmula

Se refiere a la diferencia de potencial eléctrico que existe entre las placas del condensador. Dicha diferencia de potencial es proporcional a la capacitancia y a la carga almacenada.

$V = C Q$

Y exactamente la diferencia de potencial eléctrico es igual al recorrido del campo eléctrico.

$V = \int E dL$

y si el campo eléctrico es constante: $V = E \int ds = E L$

Por lo que : $\int E dL = C Q$

El campo eléctrico es el que existe entre las placas del condensador y la distancia $L$ es la distancia entre las placas.

[Al2000]

Re: Capacidad de un condensador cilíndrico.

...Dicha diferencia de potencial es proporcional a la capacitancia y a la carga almacenada.

$V = C Q$
...

Seguramente quisiste decir que $\dst V = \left(\frac 1 C\right) Q$

...
y si el campo eléctrico es constante: $V = E \int ds = E L$
...

Mas sin embargo el campo no es uniforme en el caso del condensador cilíndrico. El campo entre las armaduras de un condensador cilíndrico vale $\dst \boldsymbol E = \frac Q {2 \pi \epsilon_0 L r}\,\boldsymbol u_r$, y la diferencia de potencial buscada es:

$$V = - \int_{\text {armadura negativa}}^{\text {armadura positiva}}\!\! \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell$$

Saludos,

Al

[Mitor]

Re: Capacidad de un condensador cilíndrico.

Ya, pero no me habéis respondido a la pregunta:

¿Cómo calculo el Campo eléctrico(O el potencial) para después calcular la capacidad? Repito, el Objetivo es calcular la capacidad, no tenemos la capacidad para calcular el potencial.

Es decir, sé calcular el campo eléctrico que genera una determinada distribución de carga en un punto testigo, así como el potencial. Lo que no sé es respecto a qué punto calculo el potencial de los cilindros, planos, etc...

Saludos, gracias.

[Cat_in_a_box]

Re: Capacidad de un condensador cilíndrico.

Hola Mitor,

Es decir, sé calcular el campo eléctrico que genera una determinada distribución de carga en un punto testigo, así como el potencial. Lo que no sé es respecto a qué punto calculo el potencial de los cilindros, planos, etc...

Como ya has dicho, lo primero que debes calcular es la expresión para la diferencia de potencial entre los dos cilindros (como ya te ha indicado Al). La capacidad que obtendremos para esta disposición, estará en función de la longitud del cilindro, luego el resultado más conveniente, a la hora de expresarlo al final, es el de la capacidad por unidad de longitud, pero eso ya es lo de menos.

Para determinar la diferencia de potencial, calcularemos el potencial debido al cilindro cargado en un punto afuera de éste a una distancia $r$ de su eje. Utilizando la ley de Gauss, se puede obtener fácilmente que el campo eléctrico es:

$$E_r=\dst\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\dst\frac{\lambda}{r}$$

Como ya te indicaron, no tienes más que integrar, ya que el campo sólo tiene una componente radial, el producto escalar $\vec E\cdot\mathrm{d}\vec l$ es sencillamente $E_r\mathrm{d}r$. Así pues, el potencial de cualquier punto $a$ respecto a cualquier otro $b$, a distancias $r_a,r_b$ del eje del cilindro es:

$$V_a-V_b=\int_a^b \vec E\cdot\mathrm{d}\vec l=\dst\int_a^b E_r\mathrm{d}r=\dst\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\dst\frac{r_b}{r_a}$$

Aquí es donde puede que hayas tenido problemas a la hora de fijar un origen, ya que puede ser algo confuso. Fíjate que si tomas el punto b en el infinito y se establece ahí el origen de potenciales, se encuentra que el potencial en el punto a es ¡infinito!.

Como ves, si se toma el infinito como origen de potenciales el resultado es que en cualquier otro punto el potencial ha de ser infinito...desde luego esta forma de definir el potencial no es muy útil. Pero recuerda que tú puedes poner el origen donde te dé la gana, así que podemos fijar que $V_b=0$ en el punto $b$ a una distancia radial arbitraria $r_0$ digamos.

Por tanto, el potencial en el punto $a$ a una distancia radial $r$ está dado por:

$$V=V_a\Rightarrow V=\dst\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dst\frac{r_0}{r}$$

Como te podrás imaginar, a partir de aquí calcular la capacidad del condensador es realmente sencillo si te ha quedado claro esto. Date cuente que este resultado se puede aplicar a nuestro problema porque la ley de Gauss se puede aplicar, ya que la carga en el cilindro externo no contribuye al campo entre los dos cilindros. Así pues, tomas como $r_0=r_b$ (donde el potencial será cero). Entonces, el potencial en la superficie exterior del cilindro interior, donde $r=r_a$ es igual al potencial que deseamos, $V_{ab}$ (del cilindro interior, positivo, respecto al exterior, negativo). Por tanto:

$$V_{ab}=\dst\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dst\frac{r_b}{r_a}$$

Por último, expresando la carga en función de la longitud del cilindro y la densidad superficial de carga, calculas la capacidad del condensador, mediante la definición misma:

$$\boxed{C=\dst\frac{Q}{V_{ab}}=\dst\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\dst\frac{r_b}{r_a}}}$$

Como ves, sale en función de la longitud del cilindro $L$ por eso te decía que se suele expresar capacidad/unidad de longitud. Espero que así te haya quedado claro, de todas formas, si algo no te convence pregunta de nuevo y yo, o cualquier miembro del foro seguro que estará encantado de ayudarte.

Saludos,

[Mitor]

Re: Capacidad de un condensador cilíndrico.

Vale, muchísimas gracias, ya he resuelto la duda.

Saludos