1r ciclo Duda con problema de inducción

[Xay]

Hola a todos,

tengo una duda en un problema de inducción. Tengo un cable bifilar, básicamente formado por dos conductores rectilíneos y paralelos, separados una distancia d. A una distancia D de uno de uno de ellos hay una espira cuadrada de lado L. Me piden que calcule el coeficiente de inducción mutua entre ellos. Tengo el problema resuelto en los problemas de clase y por un compañero, pero no me da lo mismo que a ninguno (les da diferente) y no sé si lo tengo mal yo o si es alguno de ellos el que lo hizo mal. Dejo una imagen de la resolución que he hecho yo, a ver si alguien me puede decir si tengo algún error.



En los apuntes de clase el resultado es igual que el mío salvo por lo que hay dentro del logaritmo. Según el profesor, es:

ln {(D+d+L)·D}/{(d+D)(d+L)} (no sé por qué considera que los campos de los dos cables van en sentidos contrarios en el punto P)

Según uno de mis compañeros:

ln {(D+L)(d-D-L}/{(d-D)·D} (pone los campos en el mismo sentido pero luego por algún motivo los resta a la hora de calcular el campo total en el punto P)

Después de hacer varias veces el problema ya no sé quién tiene razón y quién no. Inicialmente coloqué el punto P a la derecha de la línea bifilar, puesto que la espira está por ese lado, pero puesto que ninguno de los ejemplos resueltos que he visto lo hace así deduje que estaba mal y que el punto P debía estar entre los cables. ¿Alguien me podría decir por qué no estaría bien calcularlo para un punto P donde yo lo puse al principio?
Luego, al colocar P entre los conductores, vi que si las corrientes tienen sentidos distintos, el campo debido a cada uno de ellos iría en el mismo sentido en el punto P, por lo que no tendría sentido para mí que se restaran los campos para calcular el total en ese punto.

Muchas gracias por adelantado!!

[Al2000]

Re: Duda con problema de inducción

Pues a mi me da $\dst M = \frac {\mu_0 L}{2 \pi} \ln \frac {(D+d+L) D}{(D+d)(D+L)}$, lo que se parece mucho a lo que pones como respuesta del profesor excepto por el segundo binomio en el denominador del logaritmo. ¿Te habrás equivocado al tipear?

Saludos,

Al

PD. Cuando quieras introducir una fórmula en un mensaje, encierra el cuerpo de la fórmula entre las etiquetas [TEX][/TEX], de esta manera: [TEX]\ln {(D+d+L) D}/{(d+D)(d+L)}[/TEX] se ve como $\ln {(D+d+L) D}/{(d+D)(d+L)}$

[Xay]

Re: Duda con problema de inducción

¿Me podrías decir cómo lo has hecho y por qué, por favor? Porque el profesor en clase lo hizo considerando que el campo magnético en el punto P, que está entre los dos conductores, va en sentidos contrarios, por lo que el módulo del resultante será la resta de ambos. Sin embargo, a mí me parece que, según la regla de la mano derecha, ambos campos tendrían el mismo sentido en ese punto (no ocurriría así si P está a la derecha de los conductores), por lo que el campo resultante sería la suma de los de los conductores...

Gracias de todos modos!

[Al2000]

Re: Duda con problema de inducción

Bueno, sin entrar a considerar cómo lo hizo el profesor ni mucho menos cómo tu crees que lo hizo el profesor, permíteme recordarte que el coeficiente de inductancia mutua es la constante de proporcionalidad, dependiente de factores puramente geométricos, entre el flujo magnético producido a través de un circuito debido a la corriente de otro circuito. De manera que lo que se debe hacer es determinar el flujo magnético que produce la corriente 1 a través de la espira.

Me resulta claro, por el procedimiento que escribiste en la foto que subiste, que entiendes bien cómo son los campos y cómo calcular el flujo, de modo que sólo te escribo aquí la integral final, seguro de que entenderás de donde salió. Manteniendo como referencia el conductor al extremo izquierdo, entonces el flujo magnético a través de la espira será

$$\Phi_B = \frac {\mu_0 I_1 L}{2 \pi }\int_{D+d}^{D+d+L}\!\! \left(\frac 1 x - \frac 1 {x-d}\right)\, dx$$

Saludos,

Al

[Xay]

Re: Duda con problema de inducción

Muchas gracias, Al.

Entiendo bien de dónde viene la integral, pero la duda que tengo es más de concepto que de resolución. Me refiero a que si el campo resultante se calcula entre los dos conductores (y luego el flujo de este campo resultante a través de la espira), ¿por qué se restan los campos debidos a cada conductor si van en el mismo sentido en ese punto? A la derecha del par de conductores los campos de cada uno de ellos sí que tienen sentidos opuestos y deberían restarse, pero me parece que si colocase el punto P en esta región, en el denominador de la segunda fracción debería quedar x+d y no x-d. No sé si se entiende muy bien cuál es mi duda o si lo he enrollado demasiado...

[Al2000]

Re: Duda con problema de inducción

No, no te entiendo. No entiendo por qué insistes en calcular el campo en un punto entre los conductores rectilíneos. Como te dije en mi mensaje anterior, tienes que determinar el flujo magnético a través de la espira. En principio, el cálculo de la inductancia mutua debería resultar en el mismo valor si se pudiese calcular el flujo magnético entre los conductores rectilíneos producido por el campo magnético de la espira, pero esa vía si no es imposible, al menos es muy laboriosa.

Saludos,

Al

[Xay]

Re: Duda con problema de inducción

Es que precisamente todo este lío mío es porque si calculan el campo magnético (tanto el profesor como mis compañeros) en el punto P, que está entre los conductores, y luego usan ese campo para calcular el flujo, el campo total ahí sería la suma del debido a cada uno de los conductores, y éstos tienen la misma dirección y sentido, con lo que se sumarían.
Ahora, si el punto P estuviera en la región de la espira (a la derecha de los dos conductores paralelos), sí entiendo que se resten los dos campos, pero no entiendo por qué en el segundo denominador queda x-d en lugar de x+d. Si P está a la derecha del segundo conductor, la distancia desde el primer conductor hasta P será d+x y la distancia desde el segundo conductor hasta P será simplemente x. La primera vez que resolví este problema lo hice sin mirar nada y automáticamente coloqué el punto P a la derecha de los conductores paralelos e hice esto que estoy diciendo, con lo que el campo era

$B=\frac{{\mu }_{ 0}{I}_{1 } }{2\pi } \left\{ \frac{1}{x }-\frac{1}{d+x } \right\}$

Luego vi que al profesor le salía exactamente lo mismo pero con d-x (no me equivoqué al tipear, está así en los apuntes) en el segundo denominador. Al revisar, vi que había puesto el punto P entre los dos conductores, con lo que el d-x cobraba sentido, pero no el que los campos se restasen.

Espero haberme explicado un poco mejor ahora...


EDITO: Creo que se me ha encendido la bombilla... Creo que para obtener ese resultado has colocado, como yo inicialmente, el punto P a la derecha de los dos conductores, y llamado x a la distancia desde el primero de ellos hasta P, con lo cual la distancia desde el segundo es x-d... ¿es correcto? Si es así, lo que tú hiciste es lo mismo que hice yo al principio, pero yo llamé x a la distancia desde el segundo conductor hasta P. Ahora veo que resulta un poco más complicado, pero no sería lo mismo??

EDITO2: Duda resuelta, se ve que por algún motivo al hacer el dibujo puso el punto P entre los dos conductores pero al calcularlo en realidad lo hizo para un P a la derecha del par de conductores paralelos, que es lo único que no me cuadraba. Muchas gracias por la ayuda, Al.