2o ciclo Campo electrico de un cono en un punto P

[skameyon]

Hola un saludo a todos!
El problema es el siguiente: cual es el campo eléctrico de un cono de radio r y longitud h en un punto P . El punto P se encuentra a una distancia X de la base de dicho cono!
El problema es muy difícil para mi, el profesor nos mando a que investigaramos la solución pero no la encuentro en ningun sitio agradezco su ayuda de ante mano.

[Al2000]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

En dos etapas:

- Determina el campo eléctrico sobre el eje de un disco. Reserva el resultado.

- Rebana el cono en rebanadas perpendiculares al eje del cono y de grosor infinitesimal. Usa el resultado anterior para sumar los campos de todas las rebanadas.

Saludos,

Al

[skameyon]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

Gracias! El problema es mas grande aun, mi profesor no ha logrado resolver el problema tampoco, entonces se podrán imaginar lo complicado o sera que nos vamos a algo mucho mas profundo siendo el resultado muy sencillo. Nosotros llegamos a la conclusión de que debe ser cortado en anillos pero estos anillos deben ser cónicos ya que en un hilo lo mas pequeño posible microscopicamente las rebanadas siguen siendo cónicas, de ahí no hemos podido seguir
No se si logro explicarme!!!
A algo así hemos llegado dA=A2-A1=π (r+dr) raíz (r+dr) al cuadrado + (h+dh) al cuadrado .

[Al2000]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

El campo de un disco de radio $R$ con carga $Q$ uniformemente distribuída, en un punto sobre el eje del disco y a la distancia $x$ del centro del disco vale

$$\boldsymbol E = \frac Q {2 \pi \epsilon_0 R^2} \left(\mathrm {sign} \, x - \frac x {\sqrt {R^2 + x^2}}\right)\, \boldsymbol u_n$$

Considera ahora el cono de densidad de carga $\rho$, radio de base $r$ y longitud $h$ dispuesto de manera tal que el vértice del cono esté en el origen y el eje del cono coincida con el eje X positivo. El campo eléctrico a la distancia $\xi$ de la base del cono lo puedes conseguir dividiendo el cono en rebanadas (discos) de grosor infinitesimal, haciendo los siguientes cambios:

- Radio de la rebanada: $\dst R \to \frac r h x$

- Distancia de la rebanada al punto: $x \to h + \xi - x$

- Carga de la rebanada: $\dst Q \to dq = \rho \, dv = \rho \left[\pi \left(\frac r h x\right)^2 \, dx\right]$

Todos los vectores $d \boldsymbol E$ son paralelos, de modo que puedes dejar de lado el caracter vectorial del cálculo e integral desde $x=0$ hasta $x=h$. Nota que en este rango $\mathrm {sign} \, (h + \xi - x) = 1$.

Saludos,

Al

[skameyon]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

Muchas gracias por tu ayuda! El resultado que obtengo integrando es h.p.π.r^2 / 3 esto es correcto?

[skameyon]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

Muchas gracias por tu ayuda! El resultado es h.p.π.r^2 /3 ? Esto es correcto?

[skameyon]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

El campo de un disco de radio $R$ con carga $Q$ uniformemente distribuída, en un punto sobre el eje del disco y a la distancia $x$ del centro del disco vale

$$\boldsymbol E = \frac Q {2 \pi \epsilon_0 R^2} \left(\mathrm {sign} \, x - \frac x {\sqrt {R^2 + x^2}}\right)\, \boldsymbol u_n$$

Considera ahora el cono de densidad de carga $\rho$, radio de base $r$ y longitud $h$ dispuesto de manera tal que el vértice del cono esté en el origen y el eje del cono coincida con el eje X positivo. El campo eléctrico a la distancia $\xi$ de la base del cono lo puedes conseguir dividiendo el cono en rebanadas (discos) de grosor infinitesimal, haciendo los siguientes cambios:

- Radio de la rebanada: $\dst R \to \frac r h x$

- Distancia de la rebanada al punto: $x \to h + \xi - x$

- Carga de la rebanada: $\dst Q \to dq = \rho \, dv = \rho \left[\pi \left(\frac r h x\right)^2 \, dx\right]$

Todos los vectores $d \boldsymbol E$ son paralelos, de modo que puedes dejar de lado el caracter vectorial del cálculo e integral desde $x=0$ hasta $x=h$. Nota que en este rango $\mathrm {sign} \, (h + \xi - x) = 1$.

Saludos,

Al

Mi profesor no logra entender, entonces así de complicado sera la cosa... solo me dijo que estabas hablando de un cono solido y el del problema no lo es pero que aun así no lo entiende.

[Al2000]

Re: Campo electrico de un cono en un punto P

Lo siento, interpreté que se trataba de un cono macizo. Si se trata de una superficie cónica, al "rebanarla" resultarán anillos. En este caso el campo a emplear sería el campo en el eje de un anillo

$$\boldsymbol E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \frac x {(R^2 + x^2)^{3/2}}\, \boldsymbol u_x$$

y hacer los cambios

- Radio del anillo: $\dst R \to \frac r h x$

- Distancia del plano de anillo al punto: $\dst x \to h + \xi - x$

- Carga del anillo: $\dst Q \to dq = \sigma \, dA = \sigma \cdot 2 \pi \underbrace {\left(\frac r h x\right)}_\text {radio del anillo} \underbrace {\sqrt {1 + \left(\frac r h\right)^2}\,dx}_\text {lado del anillo}$

Saludos,

Al