Otras carreras Campo Electrico de una barra recta longitud finita

[jacinto]

Buenas a todos, les comento que estoy estudiando para rendir un parcial, y consegui ejercicios modelo de parciales tomados anteriormente, entre ellos esta este ejercicio:

-Una barra recta de longitud L = 1m tiene distribuida en forma homogenea una carga electrica por unidad de longitud $\lambda = {10}^{-9} C/m$:

a-Calcule el campo electrico E en un punto P ubicado en el mismo eje de la barra, a una distancia d=0.1 m de uno de los extremos de la misma. Dibujar el campo resultante.

Bueno mis dudas son muchas , en primer lugar estube leyendo uno de los libros recomendados (Fisica Universitaria de Sears) y hay un ejercicio muy similar pero para un alambre de longitud infinita, en el libro afirman que no puede haber ninguna componente de campo electrico paralela al conductor pero no aclaran el porque!.

Ahora en el caso particular de un alambre finito, ¿puede haber componentes de campo paralelas al mismo?, Muchas gracias.

[angelo]

Re: Campo Electrico de una barra recta longitud finita

El hecho de que el punto en el que quieres calcular el campo total esté situado en la barra implica la aparición de una singularidad, y por tanto integrales impropias. Es un buen momento de presentar el valor principal de Cauchy como herramienta para resolver este tipo de integrales ***

*** Si no estás interesado, o te parece demasiado lioso, baja al final del todo. Hay otra forma más sencilla.

Vamos a plantear el problema de forma general. Definimos una coordenada vertical $y$ en un eje solidario a la barra. Asumimos que el origen está en la parte inferior. Entonces $y$ se mueve de a $L$. Un diferencial de carga $dq$ situado en el punto $y$ tiene un valor $dq=\lambda dy$. El campo eléctrico que genera esta carga en un punto de la barra situado a una distancia $d$ del origen será

$\dst d\mathbf{E}=\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|y-d|(y-d)}$, de manera que si $y<d$ el campo apunta hacia arriba, y si $y>d$ el campo apunta hacia abajo.

Por tanto, el campo total sería

$\dst \mathbf{E}=\int_0^L\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|y-d|(y-d)}$

Como ves, esta integral es impropia debido a la singularidad en $y=d$, por lo que se deberá resolver en términos del valor principal de Cauchy. Esto es

$\dst \mathbf{E}=VPC\int_0^L\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|y-d|(y-d)}$ $\dst =\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\int_0^{d-\varepsilon}\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|y-d|(y-d)}+\int_{d+\varepsilon}^L\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|y-d|(y-d)}\right]$

Haciendo el cambio $\xi=y-d$ tenemos

$\dst \mathbf{E}=\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\int_{-d}^{-\varepsilon}\frac{-\lambda d\xi\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|\xi|\xi}+\int_{\varepsilon}^{L-d}\frac{-\lambda d\xi\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o|\xi|\xi}\right]$

En la primera integral, la variable $\xi$ es siempre negativa $\xi<0$, por lo que $|\xi|\xi=-\xi^2$. Por el contrario, en la segunda integral, la variable $\xi$ es siempre positiva $\xi>0$, por lo que $|\xi|\xi=\xi^2$. Así pues, nos queda

$\dst \mathbf{E}=\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\int_{-d}^{-\varepsilon}\frac{\lambda d\xi\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o\xi^2}+\int_{\varepsilon}^{L-d}\frac{-\lambda d\xi\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o\xi^2}\right]$

Ahora evaluamos las integrales definidas de forma tradicional:

$\dst \mathbf{E}=\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{-1}{\xi}\right)_{-d}^{-\varepsilon}+\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{\xi}\right)_{\varepsilon}^{L-d}\right]$ $\dst =\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{d}\right)+\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{L-d}-\frac{1}{\varepsilon}\right)\right]$

Como vemos, los dos términos proporcionales a $1/\varepsilon$ se cancelan, resultando finalmente

$\dst \mathbf{E}=\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(-\frac{1}{d}\right)+\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{L-d}}\right)\right]=\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{L-d}-\frac{1}{d}\right)$

Comprobamos que si $d>L/2$, el campo total apuntará hacia arriba. Si $d<L/2$ el campo total apunta hacia abajo. Y si $d=L/2$ el campo total es nulo. Lo que está acorde con la lógica, debido a la simetría del problema.

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Ahora, una forma más rápida y sencilla sin necesidad de trabajar con valores principales de Cauchy. Observando el problema vemos que, por simetría, el campo eléctrico que generan todas las cargas por debajo de $d$ será el mismo, pero de sentido contrario, que el generado por todas las cargas por encima de $d$, hasta una distancia $2d$. Con lo cual estas dos contribuciones se anulan. Por tanto, el campo eléctrico neto lo generan solamente las cargas situadas entre $2d$ y $L$. Esto es

$\dst \mathbf{E}=\int_{2d}^L\frac{-\lambda dy\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o(y-d)^2}=\frac{\lambda\mathbf{u}_y}{4\pi\epsilon_o}\left(\frac{1}{L-d}-\frac{1}{d}\right)$

Se llega al mismo resultado mucho más rápido.

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En cuanto a tu duda sobre hilos infinitos. Efectivamente, el campo total provocado por un hilo infinito vertical (con una densidad linal de carga homogénea se entiende) en cualquier punto P del espacio será siempre perpendicular a este, no teniendo ninguna componente en la dirección del hilo. Esto es debido a la simetría: al ser el hilo infinito, siempre habrán dos cargas equidistantes al punto P. Estas dos cargas generan un campo eléctrico en P de igual módulo, pero con componentes verticales invertidas (no así las horizontales, que se suman).

En hilos finitos, este fenómeno solamente ocurre en todos los puntos situados en el plano mediatriz del segmento que define al hilo, debido a la simetría. En todos los puntos fuera de este plano, la simetría se rompe, y el campo eléctrico tendrá dos componentes. Esto es así excepto en los puntos situados en el propio hilo, donde se ha comprobado que el campo solamente tiene una componente en la dirección del hilo (vertical en este caso)

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Releyendo el enunciado, dice que el punto P está a una distancia d de uno de los extremos de la barra, y en el mismo eje. Pero no no dice que esté dentro de la propia barra. Así que supongo que se referiría a que está situado fuera ella. Si es así, lo que he hecho no sirve! He interpretado mal el enunciado y me he ido a la opción más compleja.

Bueno, el procedimiento sería análogo, pero sin complicaciones de singularidades ni nada de eso.
Y por cierto, el campo total también tendría solamente componente en la dirección de la barra para todos los puntos (interiores o exteriores a ella) situados en el mismo eje.

[jacinto]

Re: Campo Electrico de una barra recta longitud finita

impresionante angelo sin palabras muchisimas gracias quedo todo mas que claro remente agradecido