1r ciclo Cálculo del campo magnético en una espira

[joticajulian]

Hola a todos,
tengo un problema resolviendo un ejercicio y no encuentro el error, de antemano gracias por la ayuda.


- Dada una espira circular de radio $R$ por la que circula una corriente $I$ calcular el campo magnético que se genera en cada punto de su trayectoria.


La trayectoria la he descrito como:
$<br /> \begin{array}{rcl}<br /> \vec{c(\theta)} &=& R(\cos\theta \hat i + \sin\theta \hat j)\\<br /> \vec{dc(\theta)} &=& R(-\sin\theta \hat i + \cos\theta \hat j)d\theta<br /> \end{array}<br />$


Para calcular el campo magnético he usado la ecuación de biot-savart, y he integrado el diferencial de campo magnético sobre toda la trayectoria. Es de notar, que no existe un campo magnético externo, sino que su propia corriente genera un campo magnético sobre si mismo:
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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
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El problema es que esta integral tiende a infinito, lo que implicaría que tendría un campo magnético infinito en dirección $\hat k$ en cada punto de la espira. Es decir, mientras $t$ se acerca al valor de $\theta$ el diferencial de campo magnético tiende a infinito. ¿en qué puedo estar fallando en el planteamiento? Gracias.

[Miguel Pla]

Re: Cálculo del campo magnético en una espira

Buenas.

Con el fin de simplificar tus cálculos, te sugiero que tengas en cuenta la ley de Maxwell o del sacacorchos, para darte cuenta que el campo de inducción B creado por la espira solo posee componente en el eje z (supuesta la espira coincidente con el plano xy)



Los elementos infinitesimales de corriente estarán localizado en

$$$\vec r' = R\left( {\cos \phi '\hat i + \sin \phi '\hat j} \right)$$$

por lo que el elemento diferencial sería

$$$d\vec l = \left( {{{d\vec r'} \over {d\phi '}}} \right) = Rd\phi '\left( { - \sin \phi '\hat i + \cos \phi '\hat j} \right)$$$

En las coordenadas elegidas el punto P se sitúa sobre el eje z a una distancia z por lo que

$$${\vec r_p} = z\hat k$$$

Como el punto P esta sobre el eje de simetría el campo B sólo puede ser paralelo al eje z y el esfuerzo podría concentrarse en el cálculo de la proyección en esa dirección

El vector que define las distancias relativas es

$$$\vec r = \left| {{{\vec r}_p} - \vec r'} \right| = \sqrt {{{\left( { - R\cos \phi '} \right)}^2} + {{\left( { - R\sin \phi '} \right)}^2} + {z^2}} = \sqrt {{R^2} + {z^2}} $$$

La contribución al campo en el punto P sería

$$$d\vec B\left( {{{\vec r}_p}} \right) = {{{\mu _0}I} \over {4\pi }}{{d\vec l \times \left( {{{\vec r}_p} - \vec r'} \right)} \over {{{\left| {{{\vec r}_p} - \vec r'} \right|}^3}}} = {{{\mu _0}I} \over {4\pi }}{{\left( {z\cos \phi '\hat i + z\sin \phi '\hat j + R\hat k} \right)} \over {{{\left( {{R^2} + {z^2}} \right)}^{3/2}}}}d\phi '$$$

la componente z sería (la única componente no nula del campo)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Espero haber sido de ayuda, un saludo

[Al2000]

Re: Cálculo del campo magnético en una espira

...
El problema es que esta integral tiende a infinito, lo que implicaría que tendría un campo magnético infinito en dirección $\hat k$ en cada punto de la espira. Es decir, mientras $t$ se acerca al valor de $\theta$ el diferencial de campo magnético tiende a infinito. ¿en qué puedo estar fallando en el planteamiento? Gracias.

No estás fallando en nada. En la medida que te aproximes a una corriente filamentaria, cualquiera que sea su forma, el campo magnético tenderá a infinito. Piensa que en esa idealización estás considerando una densidad de corriente infinita, puesto que estás asumiendo que la sección transversal del conductor es despreciable.

Saludos,

Al

[joticajulian]

Re: Cálculo del campo magnético en una espira

Gracias por sus respuestas.

Miguel Pla: Lo que intento hacer aquí es calcular el campo magnético inducido en cada punto de la espira, sino me equivoco su planteamiento hace referencia al campo inducido en un punto externo a la espira.

Al2000: Entiendo lo que dice. ¿cómo debería comenzar entonces mi planteamiento, para tener en cuenta la densidad de corriente? ¿en este caso debería seguir usando la ley de biot-savart para ver cómo se inducen unos puntos a otros campo magnético, no? Gracias.

Saludos.

[Miguel Pla]

Re: Cálculo del campo magnético en una espira

Para tener en cuenta la densidad de corriente $$$J$$$ seguiríamos este razonamiento: Considerando un elemento infinitesimal del hilo $$$d\vec l$$$ y seccón transversal $$$\Delta a'$$$, tenemos que:


$$$Id\vec l = J\left( {\vec r'} \right){\kern 1pt} \Delta a'{\kern 1pt} d\vec l = \vec J\left( {\vec r'} \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} dV'$$$

(Donde se ha tenido en cuenta que $$$dV' = \Delta a'{\kern 1pt} d\vec l$$$)

La contribución de un diferencial de volumen $$$dV'$$$ que porta una densidad de corriente será:

$$$d\vec B\left( {\vec r} \right) = {{{\mu _0}} \over {4\pi }}{{\vec J\left( {\vec r'} \right) \times \left( {\vec r - \vec r'} \right)} \over {{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}^3}}}dV'$$<br />$

Con lo cual,

$$$\vec B\left( {\vec r} \right) = {{{\mu _0}} \over {4\pi }}\int\limits_{V'} {{{\vec J\left( {\vec r'} \right) \times \left( {\vec r - \vec r'} \right)} \over {{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}^3}}}dV'} $$$

Un saludo,

Miguel.

[joticajulian]

Re: Cálculo del campo magnético en una espira

Sin embargo el problema aún continúa debido a que el radio está en el denominador. Lo digo porque:
- Quiero calcular el campo magnético que genera la propia espira.
- Luego habrá un momento en dicha integral donde r=0, es decir, esté intentando calcular el campo magnético debido al propio diferencial de volumen.
- Como la densidad de corriente J es constante y la r está en el denominador entonces dicho diferencial de B tenderá a infinito, que es lo mismo que me resultaba en el planteamiento inicial.