Otras carreras Ejercicio de campo electrico

[Marinillo]

El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas iguales y opuestas, es de 10 N/C, siendo 100 cm² el área en cada lámina. Despreciando el efecto de los bordes, ¿cuál es la carga de cada una?

Intente hacerlo, pero no entiendo como relacionar con el área de las laminas, ya que cuando hacíamos alguno en clase siempre teníamos la distancia entre las placas.

Otra duda es ¿por qué el campo entre las láminas es uniforme?

Gracias!

[Miguel Pla]

Re: Ejercicio de campo electrico

Hola, Marinillo.

Primera cuestión

No es necesario conocer la distancia entre las placas, a no ser que quieras calcular la capacitancia del sistema. La situación que nos planteas es esta;


Considerando una superficie cilíndrica S cuya generatriz sea perpendicular a las armaduras y sus bases estén dentro de ellas, el flujo del campo eléctrico, Φ_E, sería nulo ya que el campo es cero en las bases y en la superficie lateral es perpendicular a los elementos de superficie. Por lo tanto según la ley de Gauss también lo será la carga total y las cargas de las dos superficies conductoras enfrentadas son iguales y opuestas +σ y −σ. Esta igualdad y la exigencia de la conservación de la carga σ + σ' = Q/A obliga a que las densidades superficiales de carga de las superficies exteriores también sean opuestas.

Tomando ahora una superficie de Gauss cilíndrica y similar S’ pero con una base de área A’ (100 cm² en este caso) en el interior de la armadura positiva y la otra en el espacio entre armaduras, el flujo campo eléctrico según la ley de Gauss es

$$${\Phi _E} = \oint\limits_S {\vec E\,d\vec A = {{{Q_T}} \over {{\varepsilon _0}}}} $$$

El flujo sólo será distinto de cero en la base entre armaduras tomado un valor EA’. Por otro lado, la carga abrazada por S’ es Q_T= σA’ por lo que el campo eléctrico será

$$$E = {\sigma \over {{\varepsilon _0}}}$$$

De esta expresión, despejas σ y sabiendo que

$$$\sigma = {{{Q_T}} \over A'}$$$

despejas el valor de la carga total. La carga en cada una de las placas es $$ \pm {{{Q_T}} \over 2}$$

Segunda cuestión

La distribución de la carga en un plano tiene simetría especular con respecto al plano que contiene la carga por lo que es conveniente utilizar un sistema de coordenadas cartesianas haciendo coincidir el plano que contiene la carga con el x-y. De este modo, la distancia de un punto genérico P a ese plano es la coordenada z.

Respondiendo a esta simetría, dos puntos simétricos con respecto al plano x-y tendrán idénticas componentes paralelas pero invertidas las perpendiculares. Por otro lado como el plano es infinito cualquier plano perpendicular al plano x-y que pasa por el punto P es un plano de simetría y por lo tanto el campo eléctrico solo puede ser perpendicular al plano x-y (E lleva la dirección –z- y sólo puede depender de esa coordenada)

La superficie de Gauss que se ha escogido es un cilindro con bases de área A y paralelas al plano, en su interior abraza una carga Q= Aσ . Esta superficie consta de tres partes: las bases S1 y S2 y la superficie lateral S3 por lo que el flujo puede descomponerse en tres sumandos:

$$$\eqalign{<br /> & {\Phi _E} = \oint\limits_S {\vec E\,d\vec A} = \int\limits_S {{{\vec E}_1}\,d{{\vec A}_1}} + \int\limits_S {{{\vec E}_2}\,d{{\vec A}_2}} + \int\limits_S {{{\vec E}_3}\,d{{\vec A}_3}} = \cr <br /> & {E_1}{A_1} + {E_2}{A_2} + 0 = 2EA \cr} $$<br />$

Donde se ha hecho uso de que en las bases S1 y S2 el campo no varía y es paralelo a los elementos infinitesimales de área mientras que en la superficie lateral S3 el campo E3 y los
elementos infinitesimales dA3 son perpendiculares por lo que no contribuyen al flujo. Además, por la semejanza especular de los puntos situados a la misma distancia del plano, E1
y E2 tienen el mismo módulo y dirección y sentidos opuestos de modo que:

$$$\vec E = \left\{ {\matrix{<br /> { + {\sigma \over {2{\varepsilon _0}}}{{\vec u}_z}\;para\;z > 0,,,} \cr <br /> { - {\sigma \over {2{\varepsilon _0}}}{{\vec u}_z}\;para\;z < 0} \cr <br /> <br /> } } \right.$$$


Espero haberte ayudado, un cordial saludo.

[Marinillo]

Re: Ejercicio de campo electrico

Hola, Marinillo.

No es necesario conocer la distancia entre las placas, a no ser que quieras calcular la capacitancia del sistema. La situación que nos planteas es esta;[ATTACH=CONFIG]5506[/ATTACH]

Considerando una superficie cilíndrica S cuya generatriz sea perpendicular a las armaduras y sus bases estén dentro de ellas, el flujo del campo eléctrico, Φ_E, sería nulo ya que el campo es cero en las bases y en la superficie lateral es perpendicular a los elementos de superficie. Por lo tanto según la ley de Gauss también lo será la carga total y las cargas de las dos superficies conductoras enfrentadas son iguales y opuestas +σ y −σ. Esta igualdad y la exigencia de la conservación de la carga σ + σ' = Q/A obliga a que las densidades superficiales de carga de las superficies exteriores también sean opuestas.

Tomando ahora una superficie de Gauss cilíndrica y similar S’ pero con una base de área A’ (100 cm² en este caso) en el interior de la armadura positiva y la otra en el espacio entre armaduras, el flujo campo eléctrico según la ley de Gauss es

$$${\Phi _E} = \oint\limits_S {\vec E\,d\vec A = {{{Q_T}} \over {{\varepsilon _0}}}} $$$

El flujo sólo será distinto de cero en la base entre armaduras tomado un valor EA’. Por otro lado, la carga abrazada por S’ es Q_T= σA’ por lo que el campo eléctrico será

$$$E = {\sigma \over {{\varepsilon _0}}}$$$

De esta expresión, despejas σ y sabiendo que

$$$\sigma = {{{Q_T}} \over A'}$$$

despejas el valor de la carga total. La carga en cada una de las placas es $$ \pm {{{Q_T}} \over 2}$$

Espero haberte ayudado, un cordial saludo.

Gracias por tu respuesta, lo que pasa es que este ejercicio es de los primeros que estoy haciendo y todavía no podemos utilizar el teorema de Gauss, necesitaría resolver con herramientas básicas.
Desde ya muchas gracias!

[Miguel Pla]

Re: Ejercicio de campo electrico

Revisa mi respuesta, he incluido la demostración de por qué el campo eléctrico de un plano infinito cargado no depende de la distancia a éste.

pd: ya veré lo que se me ocurre para resolver este ejercicio sin necesidad de Gauss

[Marinillo]

Re: Ejercicio de campo electrico

Muchísimas gracias, te lo agradezco!

[Al2000]

Re: Ejercicio de campo electrico

En todo libro de electromagnetismo conseguirás la deducción del campo eléctrico producido por una lámina infinita de carga calculado por integración directa, probablemente partiendo del campo producido por un anillo sobre su eje. Apóyate es ese resultado para determinar el campo entre las dos láminas, que será simplemente la suma de los campo de dos láminas infinitas con cargas de igual magnitud y signo contrario.

Saludos,

Al

[Miguel Pla]

Re: Ejercicio de campo electrico

Puede que entrañase menor dificultad calcular primero el campo creado por un hilo cargado infinito, y posteriormente, expresar el campo de un plano como la suma de infinitos hilos, osea, integrando la expresión hallada para el hilo... todo sería cuestión de sentarse con un lápiz, una hoja de papel, una taza de té e intentar ambos métodos