Otras carreras Ley de Gauss

[Marinillo]

Buenas tengo un par de preguntas,

Una es: ¿Por qué no es práctico usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en un punto que esta a una distancia "b" de una barra cargada cuya longitud es L, a menos que L>>b?

Y a otra: Considerar el dipolo eléctrico en el límite l<<r y mostrar que el flujo a través de una superficie Gaussiana esférica es cero (lo cual es consistente con el hecho que la carga encerrada por la superficie Gaussiana es cero también).

Mi mayor problema es con la primera, la segunda el profesor lo explico pero muy por arriba y no entendí mucho.

Desde ya muchas gracias.

[ZYpp]

Re: Ley de Gauss

El teorema de la divergencia de Gauss establece que

$$\iiint_V \nabla \cdot \vec F \dd V = \oint_S \vec F \cdot \hat n \dd S$$

donde $\hat n$ es el vector normal a la superficie sobre la que se integra, con sentido hacia fuera.
En el caso del campo eléctrico, sabemos que

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

por tanto, de lo expuesto hasta ahora se deduce que

$$\iiint_V \nabla \cdot \vec E \dd V = \iiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \dd V = \oint_S \vec E \cdot \hat n \dd S$$

En el caso que nos atañe, la superficie de integración contiene totalmente a la barra, por tanto

$$\iiint_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \dd V = \frac{Q_{total}}{\epsilon_0}$$

y la expresión se reduce a

$$\frac{Q_{total}}{\epsilon_0} = \oint_S \vec E \cdot \hat n \dd S$$

La ventaja de este método es elegir una superficie de integración en la cual el campo eléctrico sea constante, de forma que en ese caso se cumple que

$$\oint_S \vec E \cdot \hat n \dd S = E_n\oint_S \dd S =\frac{Q_{total}}{\epsilon_0}$$

y por tanto el campo eléctrico tiene la expresión, siendo $S$ el área de la superficie de integración,

$$E_n =\frac{Q_{total}}{\epsilon_0 \oint_S \dd S}=\frac{Q_{total}}{\epsilon_0 S}$$

¿Qué ocurre si el campo eléctrico generado por una barra cargada desea ser calculado a una distancia $b$ que no sea mucho menor que $L$? Pues que el campo eléctrico no es constante en la superficie de integración (suponiendo que has elegido un cilindro coaxial con la barra), por tanto no puedes realizar el último paso y es imposible conocer el valor del campo.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

En cuanto al momento dipolar, siento no haber contestado antes. No me acordaba de la segunda pregunta.
Para demostrar eso no tienes más que calcular el campo eléctrico a una distancia $r \gg l$. Para ello partimos del potencial eléctrico del dipolo, el cual no voy a demostrar:

$$\phi_{dipolo} = \frac{p \cos \theta}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$

El campo eléctrico se obtiene mediante la relación

$$\vec E = -\nabla \phi_{dipolo}$$

que, en coordenadas esféricas, toma la forma

$$\nabla \phi_{dipolo} = \frac{\partial \phi_{dipolo}}{\partial r} \hat u_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi_{dipolo}}{\partial \theta} \hat u_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \phi_{dipolo}}{\partial \varphi} \hat u_\varphi$$

pero como $\dst \phi_{dipolo}=\phi_{dipolo}(r,\theta)$, el último término del gradiente será nulo, $E_\varphi=0$. Escribiendo cada componente del campo eléctrico por separado y teniendo en cuenta que $p = ql$, obtenemos

$$E_r = -\frac{\partial \phi_{dipolo}}{\partial r} \hat = \left( \frac{ql}{4\pi \epsilon_0} \right)\frac{2\cos \theta}{r^3}$$

$$E_\theta = - \frac{1}{r}\frac{\partial \phi_{dipolo}}{\partial \theta} \hat = \left( \frac{ql}{4\pi \epsilon_0} \right)\frac{\sin \theta}{r^3}$$

Una vez vistas estas expresiones, vemos que si $l \ll r$, entonces el cociente $\dst \frac{l}{r^3} \approx 0$, entonces el campo eléctrico es prácticamente nulo, lo que significa que no hay flujo de campo eléctrico atravesando una superficie esférica de radio $r$.

Saludos.

[Miguel Pla]

Re: Ley de Gauss

Sublime explicación