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[Marinillo]

Buenas tardes, tengo unas dudas sobre unos problemas que se refieren a Ley de Gauss, ecuación de Laplace y método de imágenes.
Me gustaría que me ayuden a plantearlos.

El primero dice: La región interior a un largo cilindro de radio R [m] se carga con una densidad $\rho={\rho}_{0} (1-r/R) [C/{m}^{3 }]$, donde ${\rho}_{0}$ es una constante positiva, siendo r la distancia medida desde el eje del cilindro. Encontrar a que distancia del eje el campo eléctrico es máximo y calcule esta magnitud máxima.

Y el segundo: Considere un capacitor de placas paralelas, con distancia entre las placas d. Una de las placas se encuentra a un pontencial V=0 y la otra a un potencial V=V_d. Encontrar la función potencial dentro del capacitor utilizando a ecuación de Laplace.

Espero que puedan ayudarme.
Gracias.

[Al2000]

Re: Física II

Para el primero simplemente aplica el teorema de Gauss para determinar el campo a la distancia $r$ (toma en cuenta la simetría cilíndrica a la hora de hacer el análisis):

Puntos interiores ($0 \leqslant r \leqslant R$): $\dst \oint \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac 1 {\epsilon_0} \int \rho \, dv \quad \Rightarrow \quad E \cdot 2 \pi r h = \frac 1 \epsilon_0 \int_{0}^{r}\!\! \rho_0 \left (1 - \frac r R \right ) \cdot 2 \pi h r \, dr\,$

Puntos exteriores ($R \leqslant r < \infty$): $\dst \oint \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac 1 {\epsilon_0} \int \rho \, dv \quad \Rightarrow \quad E \cdot 2 \pi r h = \frac 1 \epsilon_0 \int_{0}^{R}\!\! \rho_0 \left (1 - \frac r R \right ) \cdot 2 \pi h r \, dr\,$

Termina el cálculo y obtén el máximo del campo.


Para el segundo, considera que las placas son infinitas (o su separación es pequeña comparada con sus dimensiones) de manera que el campo deberá depender de una única coordenada (la distancia en dirección perpendicular a las placas, llamémosla $x$). Entonces, siendo una sola la coordenada involucrada, tendrás por la ecuación de Laplace que $\dst \frac {d^2 V}{dx^2} = 0$. Integra dos veces y ajusta las dos constantes para satisfacer las condiciones de contorno.

Saludos,

Al