Otras carreras flujo

[LauraLopez]

Se coloca una carga q dentro de un recipiente. Comparese el flujo total a traves de sus paredes , si tiene las siguientes formas cerradas :

A) Esfera

Lo que hice fue :

$\oint E, ds = \oint E ds = \oint \frac{KQ}{{r}^{ 2} } d (4 \pi {r}^{2 }) = \frac{Q}{4 \pi {\varepsilon}_{0 } {r}^{2 } } 4 \pi {r}^{2 } = \frac{Q}{{\varepsilon}_{0 } }$

B) Cubo

Aca tengo 6 paredes asi que tengo que sumar todos los flujos no? aca tomo que la superficie S es $S= {l}^{2 }$

$\oint E , ds = \oint E , ds + \oint E , ds + \oint E , ds + \oint E , ds + \oint E , ds + \oint E , ds$

Por ejemplo si llamo 1 a la cara lateral de la izquierda el flujo a traves de esta sera:

El campo apuntaria hacia la izquierda asi que le pongo un signo menos no?

$\dst \oint E , ds = - \frac{4}{4 \pi \varepsilon_0 }\frac{Q}{{l}^{2 } } \oint d({l}^{ 2}) = -\frac{Q}{\pi \varepsilon_0 }$

esta bien?

Y si calculo el flojo a traves de la cara lateral opuesta me daria igual pero con signo positivo , o sea en definitiva si calculo en todas las caras y sumo todos los flujos me dara en total cero? Pero no me tiene que dar el mismo resultado que el caso (a) ya que se trata de una superficie gaussiana con una carga Q encerrada?

Gracias

[[Beto]]

Re: flujo

Hola, te hago algunos comentarios sobre cada ejercicio:

En la primera parte das con la respuesta, pero el procedimiento que sigues no es el correcto, yo lo haría así: por la simetría esférica del problema el valor del campo $E$ es constante sobre la superficie, además de tener la misma dirección y sentido que el vector área ($\vec E\cdot\dd\vec S=E\dd S$) entonces $\oint \vec E\cdot \dd \vec s=E\oint\dd S$ (el valor del campo sale de la integral pues es constante) luego como $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ y $\oint\dd S=4\pi R^2$ y luego se obtiene el resultado al que llegaste.

En la segunda parte estas olvidando que tienes que realizar un producto escalar $\vec E\cdot \dd \vec S$, tanto el campo como el vector área siempre tienen el mismo signo, por tanto su producto escalar tiene signo positivo.

[LauraLopez]

Re: flujo

tenes razon entonces daria positivo....igualmente eso que calcule seria el flujo por la cara 1 si calculo el flujo para las demas caras deberia obtener el mismo resultado y siempre positivo entonces , finalmente sumar todos y obtengo

$\oint E , ds = \frac{6 Q}{ \varepsilon \pi}$

no deberia obtener el mimso resultado del inciso a por ser una superficie gaussiada con una carga Q encerrada?

- - - Actualizado - - -

no veo como hacer desaparecer el pi....

o sea algo debo hacer mal pero no veo como hacer.... yo use como superficie$S= l^2$ o sea no es como en el caso de la esfera que el S era$S= 4 \pi r^2$ entonces luego se me cancelaban los $\pi$

[Jose D. Escobedo]

Re: flujo

Hola Laura

Para resolver el fujo atravez de una cara del cubo de arista "$a$" tienes que resolver la integral:

$\Phi_E=\dst{\frac{Q}{ \epsilon_o}\int_{-\frac{a}{2 }}^{\frac{a}{2 }}\dst\int_{-\frac{a}{2 }}^{\frac{a}{2 }}}\dst\frac{\frac{a}{2 }}{4 \pi (\sqrt{\frac{a^2}{4 }+x^2+z^2})^3}dx dz$ y de donde la integral de superficie te devería dar un valor numérico igual a $\dst\frac{1}{6 }$.

Saludos
Jose

[LauraLopez]

Re: flujo

Hola jose y esto porque es asi??? en este caso el campo E no es constante y puede salir afuera de la integral?

$\oint E , ds$ como llego de eso a esa formula rara que vos pusiste ??

No sale E fuera de la intedral? y el ds cuanto valdria?

[[Beto]]

Re: flujo

En ese caso $E$ no es constante ya que todos los sobre una cara no están a la misma distancia de la carga, lo que si puedes tener en cuenta es que el flujo sobre cada será el mismo por simetria (siempre y cuando la carga esté en el centro del cubo), para que llegues a esa expresión basta que tengas en cuenta que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y el campo lo tendrías que calcular para un diferencial de carga ubicado en una posición arbitraria de la cara del cubo, cuando calculas la distancia te da esa expresión donde aparece la raíz. Intenta calcular la expresión del campo si no te sale luego te lo explico de forma mas detallada.

[LauraLopez]

Re: flujo

HOla beto la verdad que no me sale... estoy media perdida. Primero no entendi tu justificacion de porque E no es constante si la carga esta en el centro la distancia de cada cara a la carga no es la misma?

Luego tampoco veo como llegar a esa integral

Gracias

[[Beto]]

Re: flujo

HOla beto la verdad que no me sale... estoy media perdida. Primero no entendi tu justificacion de porque E no es constante si la carga esta en el centro la distancia de cada cara a la carga no es la misma?

Luego tampoco veo como llegar a esa integral

Gracias

Divide a las caras en diferenciales de superficie (muchos cuadraditos infinitesimales), verás que cada uno de ellos no se encuentra a la misma distancia del centro, por ejemplo un diferencial de superficie ubicado en una esquina estará a mayor distancia de uno ubicado en el centro de la cara, en el caso de la esfera era diferente pues todos los diferenciales de superficie se ubicaban a una distancia $R$, pero para un cubo ya no es así, tienes que calcular la distancia a un diferencial de superficie arbitrario y esa distancia no será una constante, por tanto el campo no es constante y no puede salir de la integral.

[LauraLopez]

Re: flujo

Entonces ahi entendi porque E no es constante y porque en cada cara el flujo es igual.

Entonces al intentar calcular el flujo en una cara.... por ejemplo tomo una cara lateral derecha.

y como sigo? sobre la cara puedo tomar un diferencial de superficie o sea un ds...pero veo que me decis tomar un dq pero sobre la cara no tengo carga distribuida la carga esta concentrada en un punto en el medio del cubo...

[[Beto]]

Re: flujo

No, toma un diferencial de superficie, y luego calculas el diferencial de campo sobre ese diferencial de superficie en la dirección perpendicular ... luego el producto de ambos será el diferencial de flujo y a eso deberás integrarlo para obtener el flujo a través de una cara. Debes de obtener una expresión similar a la de Jose D. Escobedo

[LauraLopez]

Re: flujo

...debe ser que mucho no recuerdo las integrales dobles de analisis 2 alguna ayudita de como empezar a encararlo?

[[Beto]]

Re: flujo

Hola, te explicaré el cálculo del flujo para una de las caras, por ejemplo fíjate en el siguiente dibujo

ahí puedes ver claramente que $\dd\vec S=\dd x\dd z(0,1,0)$, además el vector que te indica la posición del diferencial de área es $\vec r=(x,\dfrac{a}{2},z)\Rightarrow r=(x^2+\left(\frac{a}{2})^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}$, luego el campo en ese punto vendrá dado por $\vec E=\dfrac{Q\vec r}{r^3}$ entonces:

$$\vec E=\frac{Q\left(x,\dfrac{a}{2},z\right)}{\left(x^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+z^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}$$

Luego para calcular el diferencial de flujo que atraviesa el diferencial de superficie basta que hagas $\dd\Phi=\vec E\cdot \dd\vec S$, verás que solamente sobrevive el termino de la coordenada $Y$, finalmente realizas la integral doble cuyos límites están definidos por la región cuadrada.

[Jose D. Escobedo]

Re: flujo

Hola Beto, que programa tienes "to upload " tus gráficas
Saludos

[[Beto]]

Re: flujo

Hola Beto, que programa tienes "to upload " tus gráficas
Saludos

Uso Inkscape

Un saludo.

[LauraLopez]

Re: flujo

Luego tengo otro inciso que pregunta y cual seria el flujo si ahora la forma es una paralelepipedo rectangular ? y si es un cono? y un hemisferio?

Yo creo que este inciso no apunta a que haga el calculo matematico sino que diga que el flujo sera el mismo que en los 2 casos anteriores o sea Q / epsilon ya que estos casos tambien son superficies gaussianas con una carga Q en el interior.

Les parece que sea asi? Gracias