Otras carreras campo en plano

[LauraLopez]

Hallar la expresion para el campo electrico en un punto P, a una distancia h del centro de un plano cargado con densidad superficial constante $\sigma$ y dimensiones L por L ( Ayuda $dq= \sigma dA$

Para empezar no se como hacer el dibujo de dicho plano para poder verlas distancias o sea yo seque

$dE = \frac{Kdq}{r^2 } \vec{r}$

Tengo que poder ver un diagrama para ver como pongo ese r en funcion de la distancia h que menciona...

Alguna ayuda de como puedo dibujar el plano o sea sobre que ejes? y la distancia h es una distancia en linea recta o forma algun angulo con los ejes?

Gracias

[[Beto]]

Re: campo en plano

Hola, en este caso la forma más práctica de hacer el ejercicio es usando la ley de Gauss, considera un cilindro así como la figura:

Entonces por un ejercicio anterior sabes que $\dst\oint \vec E\cdot\dd \vec S$, ahora para la superficie dibujada esa integral se puede descomponer de la siguiente manera:

$$\dst\oint \vec E\cdot\dd \vec S=\int_{\text{cara superior}} \vec E\cdot\dd \vec S+\int_{\text{superficie lateral}}\vec E\cdot\dd \vec S+\int_{\text{cara inferior}} \vec E\cdot\dd \vec S =\frac{q}{\varepsilon_0}$$

En esa integral puedes notar inmediatamente que el flujo sobre la superficie lateral es nulo pues el campo es paralelo a la superficie. Además si se elige convenientemente el cilindro de modo tal que ambas caras estén a la misma distancia del plano, tendrás que los campos eléctricos sobre cada una de ellas son iguales en magnitud, luego el flujo que atraviesa esas caras será:

$$\int_{\text{cara superior}} \vec E\cdot\dd \vec S+\int_{\text{cara inferior}} \vec E\cdot\dd \vec S=2 E S=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

Luego si consideras que $q=\sigma S$, esto por definición de densidad superficial de carga, tendrás que:

$$\boxed{E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$$

[LauraLopez]

Re: campo en plano

Gracias beto, pero no se puede hacer con la formula? o sea integrando el diferencial campo? porque la idea es esa mas adelante otro ejercicio me pide hacer esto mismo con la ley de Gauss

O sea me quedara en funcion de h y L seguramente....

[[Beto]]

Re: campo en plano

Gracias beto, pero no se puede hacer con la formula? o sea integrando el diferencial campo? porque la idea es esa mas adelante otro ejercicio me pide hacer esto mismo con la ley de Gauss

O sea me quedara en funcion de h y L seguramente....

Por leer rápido no vi que en este caso te solicitan el cálculo para un plano cuadrado y no para uno infinito, lo que tendrías que hacer en este caso es dividir al cuadrado en hilos diferenciales y sumar cada una de las contribuciones integrando.

[LauraLopez]

Re: campo en plano

el tema es como lo hago jajaa no veo como dibujar el plano y donde ubicar el punto P y ver asi las distancias y tratar de armar asi el r del denominador del campo y el diferencial de carga lo deberia tomar en el centro del plano no?

[[Beto]]

Re: campo en plano

el tema es como lo hago jajaa no veo como dibujar el plano y donde ubicar el punto P y ver asi las distancias y tratar de armar asi el r del denominador del campo y el diferencial de carga lo deberia tomar en el centro del plano no?

Usa la siguiente figura

Toma en cuenta que las componentes horizontales del campo se anulan, el ejercicio es similar a cuando calculas el campo sobre la perpendicular a un segmento de una longitud dada.

[LauraLopez]

Re: campo en plano

es como si fuera una varilla de longitud L? o me va a quedar una integral doble? En caso que sea como una varilla de longitud L porque es equivalente ? eso en color rojo seria el diferencial de carga?

[Aer]

Re: campo en plano

Un pequeño inciso, ¿con qué programa haces los dibujos beto?, es muy útil. Gracias

[[Beto]]

Re: campo en plano

Si, eso en color rojo es el diferencial de carga, según la figura sería $\dd q=\sigma L\dd x$, ahora cuando tienes una varilla de longitud $L$ el campo a una distandia $a$ de su centro viene dado por:

$$E=\frac {q }{2\pi {\epsilon}_0 a}\frac {1}{\sqrt {L^2+4a^2}}$$

Pero en este ejercicio como se trata de una varilla diferencial para encontrar $\dd E$ tendrás que reemplazar $q$ por $\dd q=\sigma L\dd x$ y además tomar en cuenta que $a=\sqrt{x^2+h^2}$ (usando teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura), y luego integrar desde $-L/2$ hasta $L/2$

- - - Actualizado - - -

Un pequeño inciso, ¿con qué programa haces los dibujos beto?, es muy útil. Gracias

Los realizo con Inkscape, hace algún tiempo escribí al respecto en mi blog http://forum.lawebdefisica.com/entri...kscape-y-LaTeX

Un saludo.

[LauraLopez]

Re: campo en plano

ahh claro no es igual que una varilla aca cambia el diferencial de carga

Entonces tengo campo electrico solo en la direccion de y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

hasta aca creo que voy bien pero no recuerdo como se resuelve esa integral , no la vi por tabla alguna ayuda?
Gracias

[[Beto]]

Re: campo en plano

Me parece que tienes mal planteada la integral según la fórmula del campo para el hilo finito, yo lo haría así, tomando en cuenta $\sin\theta=\dfrac{h}{a}$ , donde $a=\sqrt{x^2+h^2}$, entonces:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \dd E_y&=\frac {\dd q }{2\pi {\epsilon}_0 a}\frac {1}{\sqrt {L^2+4a^2}}\sin\theta\\<br /> &=\frac {\sigma L\dd x}{2\pi {\epsilon}_0 a}\frac {1}{\sqrt {L^2+4a^2}}\frac{h}{a}\\<br /> &=\frac{\sigma L h\dd x}{2\pi\varepsilon_0 a^2\sqrt {L^2+4a^2}}\\<br /> \dd E_y&=\frac{\sigma L h\dd x}{2\pi\varepsilon_0 (x^2+h^2)\sqrt {L^2+4(x^2+h^2)}}<br /> \end{aligned}<br />$$

observa que se multiplica por el seno debido a que se está calculando el campo en la dirección vertical, ya que el campo en la dirección horizontal se anula, entonces:

$$E_y=\frac{\sigma L h}{2\pi\varepsilon_0}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\dd x}{(x^2+h^2)\sqrt {L^2+4(x^2+h^2)}}$$

Salvo que se me esté pasando algo, tampoco consigo resolver esa integral.

[LauraLopez]

Re: campo en plano

No veo en que tenemos la diferencia o sea cual sera mi error porque en teoria hice lo que me decias

Considero : $dq= \sigma dA$ , $dA = L dx$

$\sin \theta = \frac{h}{r }$

$\cos \theta = \frac{x}{r }$

$r^2 = x^2 + h^2$

$\dst dE = \frac{Kdq}{r^2 }\vec{r} = \frac{k\sigma dA}{(x^2 + h^2) }$

$\dst dE_y = dE \sin \theta = \frac{k\sigma L h}{{(x^2 +h^2)}^{\frac{3}{2 } } } dx$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

- - - Actualizado - - -

que esta integral da : http://www.wolframalpha.com/input/?i...%283%2F2%29%7D

- - - Actualizado - - -

asi que basandome en eso finalmente llego a

$\dst E_y =\frac{2k\sigma{L}^{2 }}{h\sqrt{4h^2 + L^2} }$

No se si estara bien ....

[[Beto]]

Re: campo en plano

Fíjate que estás calculando mal el diferencial de campo, este tiene que ser:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
tienes que calcular el diferencial de campo para la forma geométrica que tiene el diferencial de carga que lo genera, en mi mensaje anterior realizo ese cálculo partiendo de http://es.wikibooks.org/wiki/Electri...e_su_bisectriz

[LauraLopez]

Re: campo en plano

Entiendo que si fuera el caso de una varilla el campo electrico se calcula y se obtiene eso que ahora llamas diferencial de campo pero no entiendo porque el diferencial de campo es ese resultado en este ejercicio..


el diferencial de campo seria:

$\dst dE = \frac{kdq}{r^2 }$

porque esta mal hacer lo que yo fui haciendo? o sea resolverlo de manera analoga al que aparece en ese link resuelto dela varilla pero usando otro dq ? porque esa forma esta mal? es verdad que cada diferencial de carga de este ejercicio generara un campo igual al campo E que genera la varilla pero no me habia dado cuenta de eso ....

Mas alla de que despues me aclares un poco mas el porque se hace asi creo que encontre un error en lo que hiciste cuando pones el diferencial el termino que esta en la raiz cuadrada que acompaña al 4 pones la "a" eso en realidad seria la "y" o "h" en mi caso puede ser?

Haciendo eso a mi me quedo :

$\dst dE_y = \frac{\sigma L}{2\pi \varepsilon \sqrt{L^2 + 4h^2} }\frac{dx}{{(x^2+ h^2)}^{ \frac{1}{2 }} }$

esta integral es un logaritmo....no me gusta para nada el resultado algo puede estar mal....

[[Beto]]

Re: campo en plano

Yo parto de $\dst E=\frac {q }{2\pi {\epsilon}_0 a}\frac {1}{\sqrt {L^2+4a^2}}$ entonces de ahí calculo directamente que el diferencial de campo generado por esa varilla diferencial es $\dst \dd E=\frac {\dd q }{2\pi {\epsilon}_0 a}\frac {1}{\sqrt {L^2+4a^2}}$, nota que ese $a$ es la distancia del centro de la varilla diferencial al punto en donde estoy calculando el diferencial de campo, es decir $a=\sqrt{x^2+h^2}$, nota que de esta manera basta sustituir a $q$ por $\dd q$ para obtener el diferencial de campo, además que por la geometría de la varilla $\dd q=\sigma L\dd x$ y luego bastaría con que resuelvas la integral desde $-L/2$ hasta $L/2$. La figura siguiente te muestra cual es esa distancia $a$:

Ahora tu metodo sería correcto si hubieses considerado un diferencial de carga cuadrado así como en la siguiente figura:

pero en este caso tu diferencial de carga sería $\dd q=\sigma\dd z\dd x$, y la distancia $r=\sqrt{x^2+z^2+h^2}$, y como el modulo del diferencial de campo es $\dst \dd E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\dd q}{r^2}$, tendrías que:

$$\dd E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\dd z\dd x}{x^2+z^2+h^2}$$

y para obtener la componente $E_y$ haría falta multiplicar a ese diferencial de campo por el seno del ángulo formado por el vector $\vec r$ y el plano, usando un poco de geometría $\sin(\theta)=\dfrac{h}{\sqrt{x^2+z^2+h^2}}$, nota que este $\theta$ no es el mismo que cuando considero un diferencial de varilla, entonces:

$$\dd E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma\dd z\dd x}{x^2+z^2+h^2}\frac{h}{\sqrt{x^2+z^2+h^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma h\dd z\dd x}{(x^2+z^2+h^2)^{3/2}}$$

Ahora tendrías que integrar eso dos veces, respecto a $z$ y respecto a $x$, cuando integres la primera vez obtendrás la expresión de la que parto, es decir el diferencial de campo generado por una varilla diferencial. Como puedes ver los métodos son equivalentes pero si ya conoces el campo generado por una varilla cargada uniformemente te ahorras el hacer una integral.

Espero que ahora se haya entendido un poco mejor y hayas notado el error de tu planteamiento.


Un saludo.