Otras carreras distribucion cilindrica volumetrica

[LauraLopez]

Se tiene una distribucion cilindrica de carga constante, de $\rho$ Coulombs por unidad de volumen. Encuentre el campo electrico y el potencial debido a esta carga volumetrica:

A) fuera de la distribucion

B) dentro de la distribucion

A)


Tomo un cilindro como superficie gaussiana de largo L y aplico Gauss, tomo un punto que este fuera de la distribucion que este a una distancia h

$\dst \oint E ds = \frac{Q}{\varepsilon }$

el campo por ser constante lo saco fuera de la integral

$E S = \frac{Q}{\varepsilon }$ aca el S seria la superficie lateral del cilindro volumetrico que vale

$S = 2 \pi r L$ donde r es el radio del cilindro gaussiano

y la carga Q se reemplazaria por $Q = \rho V$ donde $V = \pi a^2 L$ donde llamo a al radio de la distribucion cilindrica de carga

y entonces finalmente me queda $E = \dst\frac{\rho a^2 }{2\varepsilon r}$

no estoy segura.....esta bien?

[Al2000]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

Ta' bien, aunque hayas cambiado a medio camino la "h" por la "r" sin avisar.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

y para el inciso B que es un punto dentro de la distribucion que cambia?

el campo es el mismo y eldiferencial desuperficie tambien.... la carga neta es la que cambia? o sea en el inciso a era $Q = \rho V$

ahora ese volumen sera otro? puede ser?

[Al2000]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

Eso es correcto. Usando tu nomenclatura del primer mensaje, el volumen encerrado sería $V = \pi r^2 L$.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

y el diferencial de superficie es $dS= 2 \pi r L$ donde este r es el mismo que el r del volumen? mmmm no veo porque debe ser el mismo...

Ahh puede ser porque en este caso tomo una superficie gaussiana de radio r ( r <a ) donde a es el radio de la carga volumetrica cilindrica y hago coincidir este r con el punto que esta dentro de la distribucion? el cual estara a esa misma distancia r.

O sea la superficie gaussiana sera mas chica que la distribucion volumetrica original? en este caso entonces no seria una distribucion $\rho$ sino una $\rho '$ no?

Para el inciso a tambien me pedia el potencial

aca tome como referencia para el potencial cero R= 1 y entonces me dio

$\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } Ln a$

Esta bien ?

Segun lo que me comento Arivasm en otro hilo mejor seria dejar un R generico y aclarar solo que el mismo es distinto de cero y de infinito y entonces me quedaria :

$\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } Ln \frac{A}{R}$


Para el inciso b el campo entonces me dio $\dst E =\frac{\rho ' r }{ 2 \varepsilon}$ mas alla de la duda que comente al principo de los radios..

[arivasm]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

Ya sabes que soy un tiquis miquis... Lo que has escrito al principio no es el elemento de superficie lateral sino la superficie lateral de la gaussiana $S=2\pi r L$ (sobraba el diferencial). Como bien dices, ahora será r<a.

Lo que ya no es correcto es que la densidad de carga varíe. Será, como dice el enunciado, un valor fijo. Lo que cambia es la carga que encierra la gaussiana: $Q=\rho V= \rho \pi r^2 L$. Al aplicar el teorema de Gauss resulta $\dst E=\frac{\rho}{2\epsilon_0}r$, que es lo que has escrito, pero con la misma $\rho$.

Integrando tenemos que el potencial es $\dst V=-\frac{\rho}{4\epsilon_0}r^2+A$, donde A es una constante de integración que, como siempre dependerá de dónde pongamos el cero.

De todos modos, tenemos que tener en cuenta que el potencial es una función continua, de manera que esta expresión debe "empalmar" en r=a. Es decir, $\dst V=-\frac{\rho}{4\epsilon_0}a^2+A=- \frac{\rho a^2}{2\epsilon_0} \ln \frac{a}{R}$, y de aquí resultaría el valor de la constante de integración que, como es lógico, dependerá de cuál sea la distancia R del punto exterior elegido para V=0.

Ahora bien. Si te fijas, es más cómodo proceder justamente al revés de como has hecho: una vez que sabemos cómo es el potencial dentro del cilindro. Está claro que la elección más cómoda será la que hace que V=0 corresponda al eje del cilindro, pues el potencial en el interior será, simplemente $\dst V=-\frac{\rho}{4\epsilon_0}r^2$ (pues de esta manera será A=0).

Al hacer así, nos queda indeterminado el potencial en el exterior, que será $\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\epsilon_0} \ln \frac{r}{R}$, donde debemos determinar el R para que el potencial sea continuo en r=a. Otra posibilidad es escribirlo como $\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\epsilon_0} \ln r+B$, con B una constante de integración a determinar usando la misma condición de continuidad. Yo te recomiendo que determines el valor de la constante R.

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

me perdi un poco en tu explicacion.....

Lo de ds si tenes razon fue mas bien un error de despistada.

primero en el inciso a que pide para un punto fuera de la distribucion:

al calcular el potencial llego entonces a :

$\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } Ln \frac{A}{R}$ y entonces aca el R es un valor arbitrario que no hace falta aclarar cual es solo aclaro que no es ni cero ni infinito esto esta bien?

aca la primera duda que me surge es esta bien eso que puse o en realidad seria asi $\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } Ln \frac{A}{R} + C$ donde C es una constate de integracion.

No es necesario expresarlo asi no? por ejemplo en este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ambre-infinito no lo hicimos asi.... o sea no agregamos esa constante

luego inciso b)

Aca defino una nueva superfice gaussianda de radio r , con r<a entonces el cilindro este gaussiano va a encerrar una menor carga neta pero de misma densidad volumetrica encerrara un volumen que vale $\dst V = \pi r^2 L$ donde r es el radio del cilindro gaussiano no?

entonces resolviendo de la misma forma que hago siempre llego a la expresion del campo :

$\dst E = \frac{\rho}{2\varepsilon }r$ hasta ahi creo que voy bien....

Luego al integrar este campo y hallar el potencial llego a :

$\dst V = \frac{\rho}{ 4 \pi \varepsilon} (R^2 - B^2)$ donde R es el punto de referencia que sigue siendo un valor arbitrario.... y B es el punto en el que estoy calculando el potencial.

Yo terminaria aca mi respuesta... pero por lo visto asi estaria mal o incompleta no? tengo que agregar aca una constante de integracion C2? o que me falta hacer?

[arivasm]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

Antes de nada: en mi post anterior olvidé (varias veces) un signo -. Lo corregiré en cuanto termine de escribir éste.

Sobre la constante C: no debes añadirla. O bien escribes $\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln \frac{r}{R}$ (he preferido llamar r a la distancia al eje del cilindro), o bien $\dst V= - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln r + C$. Observa que $\dst C=\frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln R$.

Respecto del resto, de nuevo te recomiendo llamar r a la distancia al eje, de manera que $\dst V = \frac{\rho}{ 4\varepsilon} (S^2 - r^2)$. Como ves, también he escrito S en vez de tu R, pues ésta no será igual a la R que tomaste para el exterior.

La idea es que R (la de antes) y S no son independientes. Sólo puedes elegir una de ellas. La razón está en que el potencial debe ser una función continua, de modo que en r=a se satisfagan ambas expresiones. Es decir, R y S están relacionadas por $\dst - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln \frac{a}{R}=\frac{\rho}{ 4\varepsilon} (S^2 - a^2)$.

Lo que quería decirte antes es que todo es más cómodo si eliges el V=0 en r=0, es decir, si tomas S=0, y a partir de ahí determinas el valor de R.

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

veo que vos llamas r a los puntos que yo llame A y B. no son 2 puntos distintos? porque esta bien llamarlos de la misma manera?

- - - Actualizado - - -

Veo que eso que dije es solo una cuestion de notacion a mi me resulta mas comodo usar A y B porque el enunciado hablaba de un punto A y otro B es lo mismo no?

igualmente ya entendi lo que me explicaste asi que tomo que S=0 es el punto en que esta definido que el potencial vale cero e igualmando ambas expresiones llego a

$\dst R = \dst a {e}^{2-{r}^{2 } }$ esta bien esta expresion?

de ser asi entonces tengo que reemplazar este valor en la anterior....

y llego a : $\dst V = - \frac{\rho a^2}{2 \varepsilon } \left[ Ln(\frac{r}{a{e}^{{r}^{2 } } }) - 2\right]$

resultado muuuuy feo meti la pata con alguna propiedad de los logaritmos? o ahi estaria bien?

Gracias

[arivasm]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

veo que vos llamas r a los puntos que yo llame A y B. no son 2 puntos distintos? porque esta bien llamarlos de la misma manera?

Porque es la distancia al eje del cilindro de carga. No tiene demasiado sentido usar una letra diferente según que el punto esté fuera o dentro de la distribución de carga.

Digamos que cada punto exterior genérico A tendrá su r (con r>a), y cada punto genérico interior B también tendrá el suyo (un r<a).

$\dst R = \dst a {e}^{2-{r}^{2 } }$ esta bien esta expresion?

Está claro que R, que denota una constante (en principio una distancia) no puede ser una función de la distancia al eje, r, sino que debe ser un valor concreto.

Aplicando la continuidad del potencial en r=a, tenemos que (si hacemos V=0 para r=0, es decir, si tomamos S=0), $\dst V(a) = - \frac{\rho}{ 4 \varepsilon} a^2 = - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln \frac{a}{R}$. De aquí resulta que $\ln\frac{a}{R}=\frac{1}{2}$, es decir, $\dst R=a\ee^{-1/2}$.

Para llevar este resultado a la expresión del potencial en el exterior podemos escribir este último como

$\dst V(r) = - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln \frac{r}{R}=- \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \ln \left(\frac{r}{a}\frac{a}{R}\right)=- \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \left(\ln \frac{r}{a}+\ln \frac{a}{R}\right)$

En definitiva, finalmente

$\dst V(r) = - \frac{\rho a^2}{2\varepsilon } \left(\frac{1}{2}+\ln \frac{r}{a}\right)$

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

de donde sale ese $\pi$? yo no tengo un pi en mi exprsion del campo electrico...puede ser que te hayas equivocado?

sin el pi yo llego a$\dst R = \frac{a}{{e}^{\frac{1}{2 } } }$

[arivasm]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

Sí, tienes razón. El $\pi$ era un error. Procedo a corregirlo.

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

perfecto!! ahora si entendi bien!! mil gracias

Luego tengo un inciso mas que pregunta

C) Donde es mas intenso el campo? y donde es mas debil?

Supongo que se refiere a que tengo que decir que es mas intenso en el caso de estar en un r < a o sea dentro de la distribucion y mas debil para un r > a o sea fuera de la distribucion. apunta a eso? o creo que el campo tambien deberia ser mas intenso en los bordes por eso del efecto puntas....puede ser? o ya estoy diciendo cosas mal?

[arivasm]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

No, entiendo que se refiere a "¿para qué valor de r es más intenso?". La respuesta es muuuy fácil. También lo es para lo contrario "¿para qué r es menor?".

Por cierto, no es verdad que sea más intenso para r<a...

[LauraLopez]

Re: distribucion cilindrica volumetrica

El campo sera mas intenso cuando r=a y sera mas debil cuando r= 0

asi esta bien?