1r ciclo Campo debido a carga entre dos cilindros

[Zhisi]

Calcular el campo originado por una distribución de carga uniforme e indefinida de densidad $\rho _0$ comprendida entre dos cilindros coaxiales de radios $R_1=R_0 \ \ R_2=2R_0$.
Considerar la superficie de radio $R_1$ a un potencial $V_0$ constante

Los campos los he obtenido sin problemas. Copio los resultados por si alguien cree que los tengo mal. En los resultados falta por sustituir las radios por sus valores ($R_1=R_0 \ \ R_2=2R_0$).

Para $r<R_1$:

$E=0$

Para $R_1<r<R_2$:

$\dst E= \rho _0 \frac{r^2-R_1^2}{2r \epsilon _0}$

Para $R_2<r$

$\dst E= \rho _0 \frac{R_2^2-R_1^2}{2r \epsilon _0}$

Con el potencial no sé qué hacer. Siempre tengo problemas con los potenciales de referencia. Así que agradecería una ayuda con ese apartado.

Gracias.

[LauraLopez]

Re: Campo debido a carga entre dos cilindros

hola,en algunos ejericios de este estilo que he hecho tome como referencia para el potencial el infinito o sea $\dst {v}_{infinito } = 0$ (seria en el limite cuando el radio tiende al infinito)

y para el potencial en las demas zonas haciendo la integral del campo que calculaste para cada zona

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Zhisi]

Re: Campo debido a carga entre dos cilindros

Lo que comentas lo puedo hacer siempre que no tenga una condición de un valor concreto de potencial en un punto, pero si me dan un potencial concreto para $r=R_1$ tengo que tenerlo en cuenta. El potencial de referencia creo que tiene que ser ese, pero no sé cómo plantearlo y resolverlo.

[Al2000]

Re: Campo debido a carga entre dos cilindros

Puedes hacerlo como te lo plantea Laura. Simplemente resuelve la integral indefinida. Obtendrás una constante de integración en cada una de las tres regiones y luego ajusta las constantes usando primero la condición que te dan y después la condición de continuidad en las dos fronteras.

No pusiste la permitividad en las ecuaciones para el campo... asumo fue un olvido involuntario.

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Campo debido a carga entre dos cilindros

No pusiste la permitividad en las ecuaciones para el campo... asumo fue un olvido involuntario.

Totalmente involuntario!! Jaja!! Ya lo he editado.

Siempre tengo problemas al hallar los potenciales en este tipo de ejercicios.

Para $r<R_1$

$- \int Edr=C_1$

Para $R_1<r<R_2$

$\dst -\int Edr=- \int \rho _0 \frac{r^2-R_1^2}{2r \epsilon _0}dr=- \frac{ \rho _0}{2}[\frac{1}{2}r^2-R_1^2 ln(r)] +C_2$

Para $R_2<r$

$\dst -\int Edr=- \int \rho _0 \frac{R_2^2-R_1^2}{2r \epsilon _0}dr=-\rho _0 \frac{R_2^2-R_1^2}{2 \epsilon _0} ln(r) +C_3$

Ahora, cuando [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tenemos que $C_1=V_0$. El potencial en el interior del cilindro interior es constante y de valor $V_0$

La constante $C_2$ es:

$\dst C_2=V_0+\frac{ \rho _0}{2}[\frac{1}{2}R_1^2-R_1^2 ln(R_1)]$

y por tanto el potencial entre los dos cilindros, tomando como referencia $V_0 \mbox{ cuando } r=R_1$ viene dado por la fórmula:

$\dst \phi =\frac{ \rho _0}{2}[\frac{1}{2}r^2-R_1^2 ln(r)] +C_2=\frac{ \rho _0}{2}[\frac{1}{2}r^2-R_1^2 ln(r)] +V_0+\frac{ \rho _0}{2}[\frac{1}{2}R_1^2-R_1^2 ln(R_1)]$


¿Correcto?

Para el potencial en el exterior procedo de modo similar, pero para obtener $C_3$ hallo el potencial con la ecuación de la zona intermedia y el potencial con la ecuación para el exterior cuando $r=R_2$. Si me confirmais que lo anterior es correcto, pongo la resolución del potencial para el exterior de los cilindros.


Muchas gracias a ambos.

[Al2000]

Re: Campo debido a carga entre dos cilindros

Todo bien. Sugiero combinar los dos logaritmos en la última ecuación como el logaritmo de un cociente, evitando así tomar el logaritmo de una cantidad con unidades. Finalmente las fórmulas se simplificarán considerablemente cuando introduzcas la condición de que R1 = R0 y R2 = 2 R0.

Saludos,

Al