1r ciclo Campo debido a caraga entre dos cortezas esféricas

[Zhisi]

El espacio comprendido entre dos superficies esféricas de radios $R_1$y $R_2$, contiene una carga definida por la función $\rho = \frac{A}{r^2}$, siendo $A$ una constante positiva.
Suponiendo que la superficie interior ($r=R_1$) se encuentra a potencial $V_0$, determina el campo y potencial en todo el espacio.

En coordenadas esféricas $E(r, \theta , \varphi )=E(r)\hat{r}$ es decir que sólo depende de la distancia al centro.

Para $r<R_1$:

$E=0$

Para $R_1< r<R_2$

Aquí empiezo a tener problemas. Aplico Gauss:
$\dst \int _S \vec{E} \cdot \vec{ds}=\frac{Q_I}{\epsilon_0}$ donde $\dst Q_I=\int _V \rho(r)dV= \int _V \frac{A}{r^2} dV$ así pues tenemos:

$\dst E4 \pi r^2= \frac{1}{\epsilon_0} \int _V \frac{A}{r^2}dV=\frac{A}{\epsilon _0} \int ^{2 \pi} _{\varphi =0} \int ^{\pi} _{\theta=0} \int ^{r} _{R_1} \frac{1}{r^2} d \varphi d \theta dr$

Aquí tengo el problema. En clase resolvimos este ejercicio, pero en la integral triple el profesor añadió un término más: $r^2 sin(\theta )$ y no sé de donde sale:

$\dst \int ^{2 \pi} _{\varphi =0} \int ^{\pi} _{\theta=0} \int ^{r} _{R_1} \frac{1}{r^2}r^2 sin( \theta ) d \varphi d \theta dr$

Gracias.

[arivasm]

Re: Campo debido a caraga entre dos cortezas esféricas

El elemento de volumen en coordenadas esféricas es $\dd V=r^2\sin\theta\dd r\dd\theta\dd\varphi$

[Zhisi]

Re: Campo debido a caraga entre dos cortezas esféricas

Ok gracias. He encontrado esto http://portales.puj.edu.co/objetosde...%20volumen.htm y veo de donde sale $drRd \theta$ pero con $Rsen(\theta )d\varphi$ no soy capaz.

Lo del jacobiano, como fórmula para no tener que aprender los cambios de coordenadas está bien, pero no me ayuda a comprender por qué un diferencial de volumen en esféricas está dado por esa ecuación. Le preguntaré mañana al profesor, me imagino que es algo difícil de explicar sin lápiz y papel.

Gracias.

[arivasm]

Re: Campo debido a caraga entre dos cortezas esféricas

Quizá ayude a verlo de esta manera. Traza o imagina la figura que resulta al hacer los siguientes cortes: quedémonos con un cascarón esférico de radios r y r+dr (algo así como la cáscara de una naranja). Ahora cortémosla por los conos definidos según $\theta$ y $\theta+\dd\theta$ (queda algo parecido a un aro de radio $r\sin\theta$, pero cortado "hacia el centro", no en horizontal). Por último, volvamos a cortar por los planos definidos según $\varphi+\dd\varphi$ (dos cortes verticales, radiales hacia el eje de la "naranja"). Es fácil ver que el "paralelepípedo" resultante tiene estos lados: dr, $r\dd\theta$ y $r\sin\theta\dd\varphi$.