3 placas conductoras

[LauraLopez]

Re: 3 placas conductoras

en ningun lado dice si las placas tienen o no espesor pero yo asumi que no....por eso no entendi a que se referia Arivasm cuando dice en el interior de la placa interior

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Mi duda (y perdóname Laura que introduzca dudas) respecto de lo que hizo Al se refiere a las cargas que tendrán las placas superior e inferior.

[LauraLopez]

Re: 3 placas conductoras

no tendran una carga Q1 y Q2 tal que Q1+Q2 = Q ?? digo por ser condensadores en paralelo y Q seria la carga inicial

- - - Actualizado - - -

pero eso es pensado como 2 condensadores asi con 3 placas parece mas rebuscado....me cuesta un poco verlo

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Pero, entiendo, las placas exteriores están inicialmente descargadas, de modo que no pueden tener las cargas opuestas de Q_1 y Q_2, pues la suma de ambas, como bien se ha dicho, será Q y no 0.

- - - Actualizado - - -

Aprovecho (mientras espero impaciente la más que probable respuesta de Al) para comentar que tenía un error en los campos, en el post #2, pero que no afecta al planteamiento.

[Al2000]

Re: 3 placas conductoras

Tampoco veo que diga que las placas exteriores están descargadas... Por lo que a mi respecta, pienso que ambas placas tienen carga Q' + Q repartidas por igual entre sus superficies exteriores, donde llamo Q' a la carga total de las placas exteriores. ¿Te sirve?

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Mmmm. No me convence. Tal como lo planteas, el conjunto formado por las dos placas exteriores debería tener una carga inicial igual a -Q, lo que claramente simplificaría un montón el ejercicio. Y el enunciado no menciona nada sobre una posible carga previa en ellas. Yo lo interpreto como que carecen de carga (o, ya puestos, que tienen una arbitraria!).

"Tres placas conductoras se colocan paralelas como se indica. Los planos exteriores se conectan con un hilo también conductor. La placa interior esta aislada y contiene una carga Q. ¿En qué proporción se distribuye esta carga entre las caras superior e inferior de la placa?"

[LauraLopez]

Re: 3 placas conductoras

como es de costumbre yo ya me marie entre la solucion que propone uno y otro esto ultimo no entiendo..

[Al2000]

Re: 3 placas conductoras

A ver si te puedo convencer con esto: toma una superficie gaussiana que englobe las tres placas, pero que se encuentre contenida en el interior de las láminas externas. El flujo debe ser cero y en consecuencia la carga neta encerrada debe ser cero también. El problema es similar a colocar una carga Q en el interior de un cascarón conductor; no importa la carga del cáscarón, terminará con una carga -Q en el interior y una carga Q' + Q en el exterior.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Espera un momento! A que he perdido de vista algo muy importante!: la placa de arriba también tendrá dos cargas, una en su cara superior y otra en la inferior. Y lo mismo sucederá con la placa de abajo. Desde luego eso cambiaría totalmente el enfoque, aunque no logro ver claramente (por aquí ya es demasiado tarde!) cómo eso confirmará lo que dices (o me dará argumentos para dar más "guerra").

Ya tengo otro tema para pensar en el dentista!

Saludos, amigos. Es un enorme placer tratar estas cuestiones con vosotros!

[LauraLopez]

Re: 3 placas conductoras

Bueno yo intente resolverlo de la manera que me propuso Al o sea pensarlo como 2 capacitores en paralelo seria asi:

$\dst Q= Q_1 + Q_2$

$\dst V= V_1 = V_2$

$\dst C_1 = \frac{Q_1}{V_1 }$ entonces $V = \frac{Q_1}{C_1 }$

$\dst C_2 = \frac{Q_2}{V_2 }$ entonces $V = \frac{Q_2}{C_2 }$

las igualo y tengo :

$\dst \frac{Q_1}{C_1 } = \frac{Q_2}{ C_2}$ entonces $\dst Q_1 = \frac{Q_2}{C_2 } C_1$ (1)

Ademas se que

$\dst C_1 = \frac{\varepsilon A}{d1 }$ y $\dst C_2 = \frac{\varepsilon A}{d2 }$

Reemplazo esto en lo que llame (1) y tengo

$\dst Q_1 = Q_2 \frac{d2}{d1 }$ (2)

Ademas como $\dst Q= Q_1 + Q_2$ usando (2) tengo:

$\dst Q = Q_2 \frac{d1 + d2}{d1 }$

Asi que

$\dst Q_2 = \frac{Q d1}{d1 +d2 }$

y $\dst Q_1 = \frac{Q d2}{d1 +d2 }$

Esta bien?

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Feftufe fenfando fienfraf effafa en el fenfista... (es broma, ni mi magnífica dentista me ha hecho daño ni me ha afectado a la manera de escribir...)

Esta mañana le he dado muchas vueltas al ejercicio, y no me convence lo que ha puesto Al... pero tampoco lo que he escrito yo. Debo decir que sigo pensando que la intención del ejercicio es que inicialmente sólo tenga carga la placa central.

Sobre lo que señalé de las cargas en los lados de las placas exteriores está claro que no influye en absoluto y que la clave es la carga neta que almacenan.

Para argumentar en contra del procedimiento propuesto por Al he pensado en comportamientos límite, tales como $d_1\to$ o $d_2\to\infty$. En particular, el primero conduciría a que $Q_2=0$ y $Q_1=Q$. Según el punto de vista del comportamiento semejante a un condensador eso implicaría una carga $-Q$ (¡salida de la nada!) en la placa inferior y 0 en la superior... No me convence.

Tampoco entiendo el argumento que dice Al de que el flujo debe ser cero (y confieso que no entiendo bien cómo es la gaussiana a la que se refiere)...

No sé... Prefiero pensarlo algo más y volver a la carga más adelante...

Por cierto, éstas son las razones por las que no me convence lo que he escrito yo (copio y pego de un documento que estuve preparando al respecto):

------

Por supuesto, lo primero es tener claro el propio ejercicio, en particular si hay o no una carga previa en el conjunto formado por las dos placas superior e inferior. De todos modos, propongo el análisis del caso general: la placa central posee una carga Q y las dos laterales, en conjunto, una carga q.

Como antes, denotaré con un subíndice 1 lo que se refiera a la parte de arriba y con un 2 a lo que se refiera a la parte de abajo. Así, $Q_i$ denotará las cargas en las dos caras de la placa central y $q_i$ denotará las cargas netas en las placas exteriores.

El planteamiento que hice en el post #2 se corresponde con resolver el siguiente sistema de ecuaciones

$$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> q_1 + q_2 = q &\\<br /> Q_1 + Q_2 = Q & \\<br /> d_1(Q_1-q_1)=d_2(Q_2-q_2) & \\<br /> Q_1+q_1 = Q_2+q_2 &<br /> \end{aligned} \right\}<br />$$

cuya solución es (espero no haberme equivocado! -confieso que recurrí al Wolfram...-)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
con este extraño comportamiento límite $d_1=0$, $d_2=d$, que me lleva a renegar del procedimiento:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Al2000]

Re: 3 placas conductoras

Feftufe fenfando fienfraf effafa en el fenfista... (es broma, ni mi magnífica dentista me ha hecho daño ni me ha afectado a la manera de escribir...)
...

Gracias amigo, me cogiste por sorpresa y me hiciste reir un montón

...
Para argumentar en contra del procedimiento propuesto por Al he pensado en comportamientos límite, tales como $d_1\to$ o $d_2\to\infty$. En particular, el primero conduciría a que $Q_2=0$ y $Q_1=Q$. Según el punto de vista del comportamiento semejante a un condensador eso implicaría una carga $-Q$ (¡salida de la nada!) en la placa inferior y 0 en la superior... No me convence.
...

¿No lo pusiste al revés? Cuando $d_1 \to \infty$ la carga $Q_1$ en la parte superior de la lámina central tiende a cero y la carga $Q_2$ en su cara inferior tiende a Q. Mientras tanto la carga en la cara superior de la lámina inferior tiende a -Q y su cara inferior debería ser (Q+Q')/2, donde de nuevo llamo a Q' el valor de cualquier carga inicial en las láminas externas. Yo no veo el conflicto y las cuentas me cierran por todas partes.

Lamentablemente no te puedo contra-argumentar pues no entiendo las ecuaciones que planteaste. En su lugar te pido que me sigas con una serie de proposiciones, con las cuales podrás o no estar de acuerdo. Voy a poner un espacio para que puedas hacer un ganchito en las que te cuadren.

[ ] Por hipótesis la carga Q de la lámina central se habrá repartido en una carga $Q_1$ en su superficie superior y otra $Q_2$ en su superficie inferior. Se cumple que $Q_1 + Q_2 = Q$ por estar aislada.

[ ] La aplicación del teorema de Gauss a una gaussiana que encierre la superficie inferior de la lámina superior y la superficie superior de la lámina central nos dice que la carga en la superficie inferior de la lámina superior vale $-Q_1$.

[ ] La aplicación del teorema de Gauss a una gaussiana que encierre la superficie superior de la lámina inferior y la superficie inferior de la lámina central nos dice que la carga en la superficie superior de la lámina inferior vale $-Q_2$.

[ ] La conservación de la carga nos indica entonces que las superficies externas combinadas de las láminas externas deben llevar una carga $Q_1 + Q_2 = Q$ mas cualquier otra carga que tuviesen inicialmente (Q').

[ ] La equivalencia entre las dos láminas externas y el hecho de que estén al mismo potencial nos indica que la carga total Q + Q' se repartirá por igual entre sus superficies exteriores.

[ ] Entonces concluimos que estamos en presencia de 6 planos cargados con cargas $\left [\begin{matrix} \frac 1 2 (Q+Q') \\ -Q_1 \\ Q_1 \\ Q_2 \\ -Q_2 \\ \frac 1 2 (Q+Q') \end{matrix}\right ]$

El resto del procedimiento para hallar $Q_1$ y $Q_2$ tozudamente digo que es el que indiqué anteriormente.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

Lamentablemente no te puedo contra-argumentar pues no entiendo las ecuaciones que planteaste. En su lugar te pido que me sigas con una serie de proposiciones, con las cuales podrás o no estar de acuerdo. Voy a poner un espacio para que puedas hacer un ganchito en las que te cuadren.

[] Por hipótesis la carga Q de la lámina central se habrá repartido en una carga $Q_1$ en su superficie superior y otra $Q_2$ en su superficie inferior. Se cumple que $Q_1 + Q_2 = Q$ por estar aislada.

[] La aplicación del teorema de Gauss a una gaussiana que encierre la superficie inferior de la lámina superior y la superficie superior de la lámina central nos dice que la carga en la superficie inferior de la lámina superior vale $-Q_1$.

[] La aplicación del teorema de Gauss a una gaussiana que encierre la superficie superior de la lámina inferior y la superficie inferior de la lámina central nos dice que la carga en la superficie superior de la lámina inferior vale $-Q_2$.

[] La conservación de la carga nos indica entonces que las superficies externas combinadas de las láminas externas deben llevar una carga $Q_1 + Q_2 = Q$ mas cualquier otra carga que tuviesen inicialmente (Q').

[] La equivalencia entre las dos láminas externas y el hecho de que estén al mismo potencial nos indica que la carga total Q + Q' se repartirá por igual entre sus superficies exteriores.

[] Entonces concluimos que estamos en presencia de 6 planos cargados con cargas $\left [\begin{matrix} \frac 1 2 (Q+Q') \\ -Q_1 \\ Q_1 \\ Q_2 \\ -Q_2 \\ \frac 1 2 (Q+Q') \end{matrix}\right ]$

Hola Al. Muchas gracias por la forma sumamente clara con la que has expuesto el enfoque de la cuestión. Debo decir que, por supuesto, tienes toda la razón y que coincido completamente con lo que has escrito.

Como ves, he marcado los dos pasos que me costaron más: los que se refieren a la aplicación del teorema de Gauss. Digamos que mi duda procedía de que aquí no estamos en la situación del teorema de Faraday, en la que hay una carga de extensión finita completamente rodeada por el conductor en el que induce una carga superficial. Por eso no veía la correspondencia con el ejemplo del cascarón conductor que tiene una carga en su interior.

Como creo que le podría suceder a otras personas que lean el hilo, contaré cómo acabé viéndolo claramente, por si ayuda.

De algún modo mi pregunta era ¿cómo se traza la gaussiana de manera que se puedas asegurar que no hay flujo a través de la misma?. Pues es muy sencillo: tomemos un cilindro perpendicular a las láminas (es decir, con su eje paralelo al campo) y con la "tapa" superior dentro de la lámina superior y la "tapa" inferior dentro de la lámina central. Como no hay campo en el interior de las láminas no habrá flujo a través de estas "tapas", ni tampoco a través de la superficie lateral de la gaussiana porque el campo tiene en ella la dirección superficial.

A partir de ahí el resto del razonamiento de Al es francamente claro.

Repito: gracias, Al!

Eso sí, ahora me queda encontrar el motivo por el que no puedo aplicar el enfoque que propuse originalmente!!!

[LauraLopez]

Re: 3 placas conductoras

ahora si que no tengo la menor idea de como se hace el ejercicio alguna ayuda para rescatar cual es la forma que me conviene encarar para resolverlo? creo que el pensarlo como condensadores en paralelo es algo valido entonces no?

[arivasm]

Re: 3 placas conductoras

En mi opinión, lo que has puesto en el post #25 está correcto. Ahora lo que no veo es en qué he metido la pata anteriormente, pero esa es otra historia!