Otras carreras TRC

[LauraLopez]

En un tubo de rayos catódicos (TRC) se arrancan electrones del cátodo que son acelerados a través de una diferencia de potencial de 2000 V. Simultáneamente se mide una corriente de 100 mA, en el circuito que se muestra. Si la separación entre ánodo y cátodo es de 30 cm, cuál es la densidad de electrones a 1/3 y 2/3 del recorrido? Considere que el campo eléctrico entre los electrodos es uniforme y éstos tienen un área de 5 cm2.


Alguna ayuda con este?

Gracias

[Al2000]

Re: TRC

Creo que lo puedes hacer buscando la velocidad mediante un balance de energías y determinando después la densidad de electrones usando $\dst v = \frac j {n e}$.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: TRC

Recuerda que la definición de densidad de corriente es $\vec J=nq\vec v$, donde n es la densidad de portadores de carga (en este caso el número de electrones que hay en la unidad de volumen y que es lo que te piden), q su carga y v su velocidad. Como $I=J S$, con S el área de los electrodos, el problema está en conocer la velocidad.

Para determinarla puedes suponer que los electrones parten del reposo y que son acelerados por el campo eléctrico, de manera que $q\vec E=m\vec a$. El valor del campo lo encuentras a partir de la ddp y de la distancia entre los electrodos, con lo que encuentras la aceleración. El resto es un ejercicio de movimiento acelerado.

Otra alternativa pasa por usar la conservación de la energía (lo que equivale a saltarse la radiación de frenado que emitirán los electrones por ser acelerados, pero me temo que el ejercicio no pretende que te metas en esos fregados -de hecho, si la tenemos en cuenta no podríamos usar el enfoque que te dije más arriba-).

PD: Saludos, Al. Ya ves que yo también escribo a veces "encima" de tus mensajes...

[LauraLopez]

Re: TRC

...... un poco me perdi tengo algunas dudas

para la aceleracion tengo que :

primero el campo es: $E =\frac{\Delta V}{l }$

entonces $\dst a = \frac{\Delta V q}{l m }$ donde q es la carga del electron asi que seria q= -e no? asi que la aceleracion sera negativa ?

y la velocidad la calcule como $\dst v=\sqrt{2 a x }$ pero entonces una aceleracion negativa dentro de la raiz?

- - - Actualizado - - -

y con lo que me dijiste me queda $\dst n=\frac{I}{S q v }$ donde q=-e pero aca no puedo poner el signo menos no? porque n es un numero positivo

[arivasm]

Re: TRC

La aceleración no será negativa. Evidentemente, para que el electrón se mueva de cátodo a ánodo el potencial en el cátodo debe ser menor que en el ánodo. Con respecto a la fórmula final, el signo de la intensidad en el sentido cátodo a ánodo será negativa (la corriente fluye en sentido contrario al de movimiento de los electrones).

[LauraLopez]

Re: TRC

entonces en la formula de la aceleracion a q lo reemplazo por e o por -e? no entendi porque sera positiva..

- - - Actualizado - - -

anodo es el positivo? y catodo el negativo?

- - - Actualizado - - -

en la ultima formula tampoco entendi lo de si q= e o q=-e... y debe ser positivo todo porque n es positivo no?

- - - Actualizado - - -

El campo electrico lo dibujo desde el extremo izquierdo (positivo) hacia el extremo derecho y el electron como una particula que se mueve de izquierda a derecha no?

[arivasm]

Re: TRC

Si consideras que los electrones se mueven de izquierda a derecha, entonces el campo está dirigido de derecha a izquierda. El cátodo estará a la izquierda y será negativo (y el ánodo será el electrodo de la derecha y será positivo). Sobre los signos (que te recomiendo que emplees, para que todo esté en su sitio y los conceptos estén claros -la alternativa sería tomar módulos y valores absolutos-), usa componentes de los vectores y q=-e.

[LauraLopez]

Re: TRC

Voy a tomar que el positivo esta a la izquierda (anodo) y el negativo a la derecha (catodo) asi que :

El campo electrico va de izquierda a derecha
Los electrones de derecha a izquierda
y la corriente de izquierda a derecha

esta bien eso?

Entonces cuando despejo n llego a : $\dst n = \frac{I}{s q v }$


aca ese n es un numero no? asi que no tiene que tener direccion no? con lo cual tanto I,q,v las pongo con signo positivo?

o sea q= e por ejemplo , lo mismo la velocidad v tengo que poner el modulo de la velocidad

Es asi?

Luego para la aceleracion aca si la aceleracion es un vector asi que tengo que tener en cuenta el signo no? yo llego a

$\vec{a} = \frac{\vec{E} q}{m }$ con q= -e

Cuando encuentro el campo electrico es :

$\dst V = - \int_+^- \vec{E}. \vec{dl} = E l$ entonces $E= \frac{V}{L }$

asi que $\vec{a} = \frac{V (-e)}{l m }= - \frac{e V}{l m } \hat{\imath}$ (con el versor i apuntando hacia la derecha ) asi que me da una aceleracion negativa o no? o sea la aceleracion va de derecha a izquierda (por eso el signo menos )

estoy haciendo bien?

Luego para encontrar la velocidad lo hago con esta formula?

$\dst {v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } = 2 a (x_f - x_0)$ donde $v_0 = 0$ y $x_0 = 0$

Entonces$\dst v= \sqrt{2a x}$

pero aca la aceleracion a no puede ser negativa.....en esta formula van los modulos?

Yo creo que si asi que asumiendo que va el modulo de la aceleracion la expresion para la velocidad (modulo) me queda :

$\dst v = \sqrt{\frac{2 e V x}{m l }}$

Asi que reemplazando esto en la formula de n yo llego a:

$\dst n = \frac{I}{s e \sqrt{2 a x} } = \frac{I}{s e \sqrt{\frac{2 e V x}{m l }} }$ o sea aca todo todo como modulos

Esta bien lo que fui haciendo? igual deje varias preguntas durante el post jaja

Gracias

[arivasm]

Re: TRC

Voy a tomar que el positivo esta a la izquierda (anodo) y el negativo a la derecha (catodo) asi que :

El campo electrico va de izquierda a derecha
Los electrones de derecha a izquierda
y la corriente de izquierda a derecha

esta bien eso?

Sí

aca ese n es un numero no? asi que no tiene que tener direccion no? con lo cual tanto I,q,v las pongo con signo positivo?

Correcto, correcto y correcto (este último porque son módulos)

o sea q= e por ejemplo , lo mismo la velocidad v tengo que poner el modulo de la velocidad

Es asi?

Correcto: Al manejar módulos debemos usar el valor absoluto de las cantidades escalares.

Otra posibilidad de análisis es la siguiente: Como $\vec J = n q \vec v$ y q=-e, de manera que $\vec J = - n e \vec v$, el sentido de la corriente (de izquierda a derecha, $J_x>0$) es opuesto al de la velocidad de los electrones (de derecha a izquierda, $v_x<0$). En términos de componentes sería $J_x=-n e v_x$. Para el signo de la intensidad, como se trata de un flujo $I=\int \vec J\cdot\dd\vec S$, si tomamos los vectores superficie de manera que apunten de izquierda a derecha ($\dd S_x>0$), entonces será I>0 (pues $\vec J$ y $\dd\vec S$ tienen la misma dirección y sentido, con lo que su producto escalar será positivo).

Luego para la aceleracion aca si la aceleracion es un vector asi que tengo que tener en cuenta el signo no?

Matizaré lo que has escrito: los vectores no tienen signo. En todo caso, lo que tiene signo son sus componentes (que imagino que es a lo que te refieres)

asi que me da una aceleracion negativa o no? o sea la aceleracion va de derecha a izquierda (por eso el signo menos )

estoy haciendo bien?

En realidad, lo que encuentras es que $a_x=-\frac{eV}{Lm}$ es negativo, es decir, que la componente X de la aceleración es negativa en el SR que creo que estás usando, con el eje X positivo hacia la derecha. Tal como dices, la aceleración será un vector dirigido hacia la izquierda, de módulo eV/Lm.

Luego para encontrar la velocidad lo hago con esta formula?

$\dst {v_f}^{2 } - {v_0}^{2 } = 2 a (x_f - x_0)$

Siendo tiquis-miquis, la fórmula es $\dst {v_{x,f}}^{2 } - {v_{x,0}}^{2 } = 2 a_x (x_f - x_0)$, con sus signos negativos en las componentes de la velocidad y de la aceleración.

Entonces$\dst v= \sqrt{2a x}$

pero aca la aceleracion a no puede ser negativa.....en esta formula van los modulos?

Imagino que llamas x a la resta $x_f-x_0$, que será una cantidad negativa, pues $x_f<x_0$ al tomar el SR anterior y, como dije antes, en realidad la fórmula que poner debería ser $\dst v= \pm\sqrt{2a_x x}$. Como ves, no hay problema con lo signos.

Por supuesto, lo más sencillo es no complicarse la vida con signos y manejar valores absolutos, aprovechando que $v=|v_x|$ y $a=|a_x|$, con lo cual $\dst v= \sqrt{2a |x|}=\sqrt{2aL}$.

Esta bien lo que fui haciendo?

Como puedes ver, sí, está todo correcto. Los matices que he puesto son, simplemente, aclaraciones que hago porque no te queden lagunas.

[LauraLopez]

Re: TRC

gracias entonces hasta ahi vamos bien finalmente es solo reemplazar valores numericos y reemplazar x por x=1/3 en un caso y en el otro x= 2/3 y llego a

Para x= 1/3

$n= \notcien{6.46}{20} electrones /m^3$

para x= 2/3

$n= \notcien{4.57}{20} electrones /m^3$

o sea mas avanzo menos electrones hay esto esta bien? yo creo que si porque me estoy moviendo del catodo hacia el anodo donde hay mas protones que electrones

[arivasm]

Re: TRC

No he revisado las cifras, pero sí debe suceder que la densidad de electrones vaya disminuyendo al acercarse al *ánodo* (el cátodo es el electrodo de partida -por eso se les llama "rayos catódicos"-). Pero la razón no es la que das: simplemente se trata de que como la intensidad (carga que pasa por unidad de tiempo) es una constante a lo largo de todo el haz, donde la velocidad de los electrones sea mayor la densidad de éstos será menor.

Quizá podemos visualizarlo de esta manera: imagínate que desde lo alto de un plano inclinado se dejan caer canicas a ritmo de una cada segundo (con lo que por cualquier lugar del plano también pasará una canica cada segundo). Cuanto más abajo en el plano, y por tanto cuánto mayor sea la velocidad de las canicas, estarán más espaciadas y entonces habrá menos canicas por m^2 (en el caso tridimensional de los electrones serán menos "canicas" por m^3).