1r ciclo Densidad de carga a partir del campo

[Zhisi]

Hola estoy con el siguiente ejercicio y creo que no entiendo qué he de hacer en el apartado b.

El potencial electroestático originado por una cierta distribución de carga , a una distancia $r$ del origen donde se encuentra la carga puntual $q$ viene dado por la expresión:

$\dst \Phi (r)=\frac{q}{4\pi \epsilon _0 r} e^{-r/a}$

donde $q,a:cte$. Calcular:

a) El campo $\vec{E}(\vec{r})$ y el flujo de $\vec{E}$ a través de una esfera de radio $r$, centrada en el origen. Estimar su valor en el límite $r=0$

b) La densidad de carga [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y la carga total en el interior de una superficie esférica de radio $r$, centrada en la carga puntual. Estimar su valor para $r=\infty$

Tras resolver el apartado a), obtengo el campo y flujo siguientes:

$\dst \vec{E}(r)= \frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2}e^{-r/a}(a+r)$

$\dst \phi=\frac{q}{\epsilon _0 a}e^{-r/a}(a+r)$


Lo primero, no entiendo el enunciado, nos dan una fórmula para el potencial (potencial de Yukawa), pero ese potencial ¿a qué se debe, a una carga puntual en el origen, a una distribución de carga en algún lugar del espacio o a ambas cosas?

No se me ocurre cómo obtener la densidad de carga.

Para hallar la carga interior de la superficie esférica procedo del siguiente modo:

$\dst \phi=\frac{q}{\epsilon _0 a}e^{-r/a}(a+r)=\frac{Q_{INT}}{\epsilon _0}\to Q_{INT}=\frac{q}{ a}e^{-r/a}(a+r)$

¿Esto es lo que pide el enunciado?

Gracias.

[Cat_in_a_box]

Re: Densidad de carga a partir del campo

Hola,

No he comprobado los resultados que has obtenido para el campo eléctrico, pero para hallar la densidad de carga, puedes utilizar la Ley de Gauss en su forma diferencial:

$$\vec\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}\Rightarrow \rho=\varepsilon_0(\vec\nabla\cdot\vec E)$$

Por la simetría del problema es probable que te resulte más fácil calcular la divergencia del campo eléctrico en coordenadas esféricas. Para hallar la carga total encerrada por una esfera de radio r, no tienes mas que integrar la densidad de carga a una esfera:

$$Q=\iiint_V\rho\mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_0^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\mathrm{d}r \rho r^2\sin\theta$$

Dada la simetría, dependencia radial, las integrales angulares son inmediatas, por lo que la evaluación de la integral se simplifica. Supongo que se referirán a eso.

Saludos,

[Zhisi]

Re: Densidad de carga a partir del campo

Entendido.

$\dst \rho =\epsilon _0 (\vec{\nabla } \cdot \vec{E})=\epsilon _0 (\frac{\partial E_r}{\partial r}+\frac{\partial E_ {\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial E_ \phi}{\partial \phi})= \epsilon _0 ((\frac{\partial E_r}{\partial r}+0+0)=\epsilon _0 \frac{\partial E_r}{\partial r}$

¿Ese sería el resultado sin hacer la derivada parcial? (La derivada la he hecho en papel). Conocida la densidad, la carga interior es fácil.

Muchas gracias Cat_in_a_box

[Cat_in_a_box]

Re: Densidad de carga a partir del campo

Hola de nuevo,

Sí ese es el procedimiento...¡pero ojo! Ten mucho cuidado cuando utilices operadores del cálculo vectorial diferencial referidos a sistemas de coordenadas diferentes al cartesiano, pues la relación no es tan simple como en este caso. La divergencia en coordenadas esféricas es:

$$\vec\nabla\cdot\vec E=\dst\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2 E_r)+\dst\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(\sin\theta E_\theta)+\dst\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi }{\partial \phi }$$

En este caso te quedas sólo con la parte radial, pero mucha atención a la definición de divergencia en esféricas. La carga como tú dices es un cálculo inmediato. La verdad es que podrías haber hecho uso de la ecuación de Poisson para obtener la densidad de carga a partir del potencial diréctamente, pero como te piden también el campo eléctrico te da lo mismo.

Saludos,

[Zhisi]

Re: Densidad de carga a partir del campo

Sí ese es el procedimiento...¡pero ojo! Ten mucho cuidado cuando utilices operadores del cálculo vectorial diferencial referidos a sistemas de coordenadas diferentes al cartesiano

¡Cierto! No me acordaba (y eso que tengo el formulario con los operadores diferenciales delante de las narices jaja!!)