1r ciclo Potencial debido a multipolos

[Zhisi]

Hola. Estoy intentando resolver el ejercicio de la imagen pero no sé cómo empezar.

En el apartado a, solo tenemos una carga por tanto el potencial electroestático vendrá dado por la ecuación "habitual" pero ¿en coordenadas esféricas? el potencial sólo depende de la distancia y por tanto en coordenadas esféricas tansolo de pende de la coordenada $r$:

$\dst \Phi(r,\theta , \phi)=\frac{q}{4\pi \epsilon _0 r}$ donde $r$ es el vector que va desde la carga hasta el punto en el cual queremos conocer el potencial.

El hecho de que $r>>a$ en este caso es irrelevante, aunque supongo que en el resto de los apartados no.

El apartado b no tengo ni idea de cómo afrontarlo. ¿Debe utilizar desarrollo multipolar? En ese caso ¿cómo?

Muchas gracias.

[Al2000]

Re: Potencial debido a multipolos

En efecto, los ángulos son irrelevantes en el caso del monopolo y el ángulo $\varphi$ también es irrelevante en el caso del dipolo y el cuadrupolo lineal, debido a la simetría cilíndrica del problema.

El cálculo del dipolo lo puedes conseguir en cualquier libro. Aquí mismo en la WDF, [Beto] escribió un artículo muy bueno que incluye, entre otras cosas, el análisis del dipolo, si bien [Beto] lo abordó por el lado mas difícil, el cálculo del campo. Tu puedes adaptar el procedimiento para el cálculo del potencial.

El cálculo del cuadrupolo lineal es muy parecido, pero aparecerán tres términos. Lo puedes conseguir resuelto completamente en el libro de Alonso-Finn. Básicamente la idea es plantear la suma de los potenciales de las tres cargas, expresar la distancia de las cargas positivas al punto usando el teorema del coseno y hacer una expansión en series del inverso de las distancias, conservando aquellos términos hasta el orden 1/r^3, que son los primeros que no se anulan.

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Potencial debido a multipolos

Entonces para el dipolo el potencial en algún punto del espacio (a<<r) es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde $r$ es la distancia del origen (centro de los dos dipolos) al punto en el cual queremos calcular el potencial.

Ahora voy a intentar el cuadrupolo como dices, pero me gustaría hacerlo utilizando el desarrollo multipolar (se ahorra tiempo, tinta y paciencia jaja!), nos lo explicaron hace unos días pero no lo entiendo bien:

Para una distribución lineal de carga:

$\dst \Phi(r, \theta )=\frac{1}{4\pi \epsilon _0 }\sum_{l = 0}^\infty\frac{M_lP_l(cos\theta )}{r^{l+1}}$

donde $\dst M_l=\int \lambda (z')z'dz'$


PD: ¿Puedo calcular el potencial del cuadrupolo como la suma de los potenciales debidos a dos dipolos, en lugar del potencial debido a tres cargas?

[Zhisi]

Re: Potencial debido a multipolos

Estoy repasando y tengo dudas nuevas respecto a este ejercicio, concretamente en el apartado c). Lo he conseguido resolver utilizando el desarrollo multipolar, el momento monopolar y el momento dipolar son nulos y por tanto sólo necesitamos calcular el término cuadrupolar que para partículas discretas es $Q_{jk}=\sum q_i (3j_ik_i-r_i^2 \delta_{jk})$ . En coordenadas rectangulares (x,y,z) no tengo problemas, pero para hacerlo en coordenadas esféricas sí. Por ejemplo cuando calculo el término $Q_{\phi \phi }$ para la carga que se halla en el origen, $\phi$ puede ser cualquier valor, pero si no le doy el valor cero, entonces, no me cuadran los resultados.

¿Alguna sugerencia?

Gracias!!