1r ciclo Campo en el interior de una esfera. Método de las imágenes

[Zhisi]

Hola, estoy con un ejercicio en el cual tengo que aplicar el método de las imágenes pero no sé si lo estoy planteamdo del modo correcto puesto que el resultado que obtengo es una función "muy grande".

En el interior de una esfera conductora, hueca, de espesor despreciable, y de radio $a$ se colocan dos cargas puntuales iguales de valor $q$ la primera en el punto $(b,0,0)$ y la segunda en el punto $(0,b,0)$. Si dicha esfera conductora se mantiene a potencial nulo determinar:

a)el campo electroestático en el interior de la esfera.
b) el campo electroestático en el exterior de la esfera.
c)La densidad superficial de carga en la superficie interna de la esfera.
b)Si la esfera conductora se mantiene a $V_0$ mediante una batería, justificar como cambian las respuestas de los apartados anteriores.

b) El campo en el exterior de la esfera es cero puesto que no hay cargas en el exterior y la corteza esférica está a potencial cero (la corteza esférica apantalla el campo debido a las dos cargas que hay en su inteior)

c) La carga del interior ($2q$) induce una carga de igual valor y signo contrario en el interior de la corteza, por tanto la densidad es $\frac{-2q}{4 \pi a^2}$

a) En este apartado es donde empiezan mis dudas. Para resolverlo aplico el método de las imágenes.

En primer luga,r el campo debido a las dos cargas en cualquier punto del interior de la corteza es:

$\dst V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0}\left( \frac{q}{ \left\vert{} \vec{r}-\vec{r_1} \right\vert{}}+\frac{q}{ \left\vert{} \vec{r}-\vec{r_2} \right\vert{}} \right)$

donde $\vec{r}$ es el vector de posición del punto en el cual quiero hallar el campo, $\vec{r_1}= (0,b,0)$ y $\vec{r_1}= (0,b,0)$.

Siento no tener una imagen para que se vea todo más claro.

Ahora supongo una partícula en algún punto en el exterior de la esfera cuya carga es $q'$ y cuyo vector de posición es $\vec{R}$

Si tenemos encuenta las tres cargas para calcular el potencial en el punto interior de la esfera queda del siguiente modo:

$\dst V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0}\left( \frac{q}{ \left\vert{} \vec{r}-\vec{r_1} \right\vert{}}+\frac{q}{ \left\vert{} \vec{r}-\vec{r_2} \right\vert{}} + \frac{q}{ \left\vert{} \vec{r}-\vec{R} \right\vert{}}\right)$

Este nuevo sistema debe cumplir varias condiciones:

1. $r\to \infty \Rightarrow V=0$

2. $V(r=a)=0$ potencial cero sobre la corteza esférica.

Es evidente que la primera condión la cumple

La segunda condición la utilizamos para hallar nuestras incógnitas $q' \ \ \ R$

Si suponemos que $q'$ se encuentra sobre el eje x $(R,0,0)$ y como sabemos que en los puntos $M=(a,0,0)$ y [/tex]N=(-a,0,0)[/tex] el potencial es cero, hacemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\dst V_M =\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\left( \frac{q}{a-b}+\frac{q}{\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{q}{R-a} \right)=0$

$\dst V_N =\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\left( \frac{q}{a+b}+\frac{q}{\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{q}{R+a} \right)=0$


Encuentro primero $q'$

$q'=-q \frac{b}{a^2 -b^2 }\cdot \frac{R^2 -a^2}{a }$

Al sustituir este resultado en alguna de las ecuaciones anteriores me queda que $R$ es igual un "tocho".

¿Es correcto mi procedimiento?


d)

a) Aquí tengo que proceder igual que cuando la esfera estaba a potencial cero pero cambiando la condición de potencial cero para $r=a$ por potencial igual a$V_0$ en la segunda condición. La condición de potencial cero en el infinito sigue siendo válida.

b) Esto lo debeía saber hacer, pero creo que me estoy obcecando. ¿Cómo lo planteo?

c) Aquí lo mismo. Conozco el potencial en la corteza pero ¿Cómo hallo la densidad?

Agradezco sugerencias y correcciones.


Muchas gracias por vuestro tiempo.

[oscarmuinhos]

Re: Campo en el interior de una esfera. Método de las imágenes

El razonamiento entiendo que está bien en los apartados a) y b).
Pero en el apartado c), tú calculas la densidad de carga en la superficie esférica como si dicha densidad de carga pudiera ser uniforme. Y está claro que no lo puede ser. (Además, creo que te sobraría todo el desarrollo del método de las imágenes si dicha densidad superficial de carga fuese uniforme)
Para calcular la densidad de carga sobre la superficie esférica... (no lo hice, pero entiendo que deberá ser así).... tendrás que, a partir del potencial, calcular el vector D y aplicar las condiciones de frontera a este vector D.

Y lo mismo para cuando el potencial de la esfera conductora es V0

[Zhisi]

Re: Campo en el interior de una esfera. Método de las imágenes

tendrás que, a partir del potencial, calcular el vector D y aplicar las condiciones de frontera a este vector D.

Es cierto. ¿cuáles son las condiciones de frontera? Lo voy a hacer y luego posteo con las conclusiones.

En el apartado d) b) ¿cómo calculo el campo electroestático en el exterior de la esfera sabiendo que el potencial de esta es $V_0$

- - - Actualizado - - -

En lugar de utilizar el vector D he utilizado el campo (que viene a ser lo mismo $D=\epsilon _0 E$ ).

Para el apartado d) b) considero un nuevo sistema en el cual tengo una carga en el centro la para la cual hay una superficie equipotencial $V_0$ en donde antes se encontraba la corteza esférica. A partir de ahí puedo concer el valor de la carga en función de ese potencial y con todo ello hallar el campo electroestático para una distancia mayor al radio de la esfera del problema original.

Un saluod y gracias.