Otras carreras Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

[noemily93]

Hola!!! Les molesto con este hilo
Una placa plana(de caras paralelas) con espesor d y extension infinita en las direcciones y y z, tiene una densidad de carga constante po distribuida en todo su volumen, como muestra la figura. Utilizando la ecuacion de Poisson, calcule el campo electrico y el potencial electrostatico en cada punto, tanto dentro como fuera de la placa.


Como lo resuelvo con la ecuacion de Poisson???
pensaba utilizar ley de Gauss pero no creo que vaya por ese lado
gracias de antemano!!!!

[arivasm]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

Está claro que la simetría del problema exige que el potencial sólo dependa de la coordenada x. Por tanto, la ecuación que tienes que resolver se reducirá a $\dst\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$, si $-d/2\leq x\leq d/2$, y $\dst\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}=0$ en los demás casos. Por tanto, resuélvelas (será muy sencillo) y ten en cuenta la continuidad del potencial en $x=\pm d/2$. Una vez que tengas el potencial aplícale el gradiente y con él encuentra el campo.

[Al2000]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

Sólo para aclarar que el amigo arivasm "se comió", el signo menos en la ecuación de Poisson. La primera derivada debería decir $\dst\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = -\frac \rho {\epsilon_0}$.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

¡Debe ser una fijación que tengo!, pues creo recordar que ya me sucedió en alguna otro hilo. Por supuesto que falta el signo menos!, pues la ecuación de Poisson no es otra cosa que el resultado de agrupar el teorema de Gauss $\vec\nabla\cdot\vec E=\rho/\epsilon_0$ con la definición de potencial $\vec E=-\vec\nabla\varphi$

PD: Editaré el mensaje para dejarlo correctamente!

[noemily93]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

una pregunta mas como resuelvo esa ecuación, vectorial tome el semestre pasado y estoy revisando en mis libros de vectorial y no entiendo muy bien

[arivasm]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

El caso en el vacío $\dd^2\varphi/\dd x^2=0$ es especialmente sencillo: llamemos $e=\dd\varphi/\dd x$ (será la componente X del campo eléctrico, cambiada de signo), la ecuación anterior será equivalente a $\dd e/\dd x=0$, de donde concluimos que $e$ es una constante, que podemos llamar $a$, y entonces

$$\varphi=a x+ b$$

donde $b$ es también una constante de integración. Eso, sí, tenemos que tener claro que las constantes no necesariamente serán iguales en el lado izquierdo que en el derecho de la figura.

En el interior del material tenemos que $\dst\frac{\dd^2\varphi}{\dd x^2}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$. Haciendo como antes, la podemos escribir $\dst\frac{\dd e}{\dd x}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$, cuya solución es $\dst e=-\frac{\rho}{\epsilon_0}x+A$. Integrando de nuevo tienes

$$\dst\varphi=-\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2+A x+B$$

donde he usado mayúsculas para las constantes de integración para distinguir la zona con carga de la vacía.

Para encontrar las constantes de integración en primer lugar podemos partir del hecho de que el origen del potencial es arbitrario, es decir, podemos elegir un punto al que asignarle $\varphi=0$. Por ejemplo, si se elige que dicho punto corresponda con $x=0$, al llevarlo a (2) se tiene que $B=0$.

Para encontrar las restantes ayudará recurrir a la simetría del problema, es decir, que si hacemos una transformación $x\leftrightarrow -x$ el sistema será idéntico. Eso significa que necesariamente será $A=0$ y entonces, si se toma la referencia antes mencionada

$$\dst\varphi=-\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2$$

Análogamente, si distinguimos con subíndices las constantes del lado izquierdo y del derecho, la relación entre las constantes impuesta por la transformación mencionada será

$$a_{izda}=-a_{dcha}$$

$$b_{izda}=b_{dcha}$$

Por tanto, sólo quedan estas dos constantes, que se determinarán por la continuidad en $x=d/2$ del potencial y su derivada (esta última es la continuidad del campo eléctrico).

Si no me equivoco, debes encontrar que

$\dst a_{dcha}=-\frac{\rho d}{2\epsilon_0}$
$\dst b=\frac{\rho d^2}{8\epsilon_0}$

de manera que el potencial en el lado vacío derecho es

$$\dst\varphi=\frac{\rho d}{8\epsilon_0}(d-4 x)$$

Para el campo, como te dije, simplemente aplica la definición que lo relaciona con el potencial.

[noemily93]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

Muchas Gracias!!!!!

[oscarmuinhos]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

Para encontrar las restantes ayudará recurrir a la simetría del problema, es decir, que si hacemos una transformación $x\leftrightarrow -x$ el sistema será idéntico. Eso significa que necesariamente será $A=0$ y entonces, si se toma la referencia antes mencionada

$$\dst\varphi=-\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2$$

Análogamente, si distinguimos con subíndices las constantes del lado izquierdo y del derecho, la relación entre las constantes impuesta por la transformación mencionada será

$$a_{izda}=-a_{dcha}$$

$$b_{izda}=b_{dcha}$$

Por tanto, sólo quedan estas dos constantes, que se determinarán por la continuidad en $x=d/2$ del potencial y su derivada (esta última es la continuidad del campo eléctrico).

Una pregunta para arisvam...
Veo que, al determinar las constantes de integración, aplicas condiciones de simetría. Y veo que para el potencial exterior, al aplicar la simetría de cambiar $\ x$ por $\ -\ x$, llegas a la conclusión de que

$$a_{izda}=-a_{dcha}$$

$$b_{izda}=b_{dcha}$$

¿No cabría responder lo mismo para el potencial en la región interior $\dst\varphi=-\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2+A x$ y concluír que $\ {A}_{izqda } = \ -\ {A}_{drcha }$ ? ¿Hay alguna razón conceptual para este distinto razonamiento para una y otra región o para uno y otro potencial? ¿No hubiera sido más riguroso emplear para el potencial interior el mismo razonamiento que empleaste para el potencial exterior y, a continuación o en su lugar, aplicar las condiciones de frontera para el campo $\vec{E}$ ?
Gracias Antonio.

[arivasm]

Re: Campo eléctrico y potencial electrostático utilizando ecuación de Poisson

¿No cabría responder lo mismo para el potencial en la región interior $\dst\varphi=-\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2+A x$ y concluír que $\ {A}_{izqda } = \ -\ {A}_{drcha }$ ? ¿Hay alguna razón conceptual para este distinto razonamiento para una y otra región o para uno y otro potencial?

La idea es que en realidad tienes tres regiones, cada una con su ecuación y su solución correspondiente, y por eso una única A en la zona central.

De todos modos, nada impediría haber dividido la zona central en dos (x<0) y (x>0) y concluir lo mismo que has escrito. En tal caso, la continuidad del campo (es decir, de la derivada del potencial) en x=0 nos llevará a que necesariamente ambas A deben ser nulas, pues deberían satisfacer a la vez ser iguales y opuestas.

Saludos, Óscar!