solenoide

[LauraLopez]

Re: solenoide

creo que sigo confundida mas que nada en como tengo que continuar el ejercicio....

como te decia yo llegue a esta ecuacion :

$\dst dB_x = \frac{\mu_0}{2 } nI \frac{R^2}{{(x^2 + R)}^{ ^3/2} } dx$

mi pregunta es ahora como continuo el ejercicio? tengo que integrar y obtener la ecuacion (3) no? de ser asi no se como hacer esto... porque veo que hay que integrar la X y no logro llegar a algo similar a lo que llegas vos....

Creo que tendria que llegar a la ecuacion (3) para luego entender como continua el ejercicio y entender el porque estoy calculando esto

Ademas con respecto al dibujo que hiciste....no logro ver que sea asi como hice en el grafico de antes el eje X para mi es el horizontal y las espiras serian como la que dibujaste pero rotadas 90 grados....asi que el campo seria sobre el eje X , o sea el horizontal y dirigido hacia el origen o no?

Por ultimo sigo sin entender si estoy calculando el campo que produce 1 sola espira que tiene una corriente I o si estoy calculando el campo que producen n espiras que transportan una corriente di y el porque de esto sea cual sea la respuesta

[arivasm]

Re: solenoide

Vale, me alegro de que no hayas tenido dificultades con ese paso. Por cierto, el dibujo era para deducir la fórmula que has puesto, de modo que puedes ignorarlo (sobre la orientación, simplemente habría que girarlo 90º para que el eje X quedase horizontal...)

Ahora ciertamente tienes que integrar. Repito, la ecuación (3) era una justificación de la que acabas de escribir. En la deducción de la que has puesto en tu último post habrás pasado por ella. Por tanto, para continuar el ejercicio debes olvidarte de (3) y recurrir a la que has escrito.

El sentido del campo depende simplemente del que tenga la corriente. Fíjate en el dibujo que hice. No necesariamente estará dirigido hacia el origen. Es más, si una espira produce un campo hacia la derecha todas las del solenoide producirán un campo hacia la derecha.

Por último, para calcular el campo que originan todas las espiras tienes que sumar (integrar) los campos que producen. Por cierto, n=N/L es el número de espiras por unidad de longitud.

[LauraLopez]

Re: solenoide

perdon q pregunte tanto pero me cuesta entender ....dejame pasar en limpio y preguntarte las nuevas dudas

Empezando desde cero lo que tengo en mi hoja seria:

1)Primero hice el dibujo que puse en los primeros post corregido , o sea que el dx esta a una distancia x en lugar de estar a una distancia L/4.

2)Luego escribi : Si n= N/L es el numero de vueltas por unidad de longitud, en el elemento de longitud dx existen ndx vueltas de alambre con lo cual seria como una espira que transporta una corriente di= nIdx

3) El campo que produce esta espira sobre el eje X es : (hice un dibujo de la espira y aplique Biot-Savart)

$\dst dB_x = dB \sin \theta = dB \left( \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2} } \right) = \frac{\mu_0}{4\pi }\frac{I dl}{x^2 +R^2 } \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2} }$

Como transporta una corriente nIdx en lugar de una corriente I , reemplazo I por nIdx y dl por $2\pi R$ tengo:

$\dst dB_x =\frac{\mu_0}{2 } nI \frac{R^2}{{(x^2+ R^2)}^{3/2 } } dx$

Hasta aca es lo que tengo resuelto en mi hoja, la pregunta es hasta aca esta bien? esto seria el campo que produce 1 espira que transporta una corriente di no? pero lo que encontre es su modulo ahora faltria encontrar su direccion que yo creo que sera paralela al eje X apuntando hacia la izquierda o derecha dependiendo de como circule la corriente, esto lo tengo que determinar yo?

4) El siguiente paso seria integrar esa expresion ? y la idea es que sea para todo el solenoide no? entonces porque los extremos no son entre 0 y L? igualmente al hacer esto lo que estaria haciendo es sumar (integrar) todas las espiras que forman el solenoide donde cada una de ellas se asume que transporta una corriente di, esto es asi?
Por ultimo la otra duda es en que momento entra en juego el hecho de que me pide el campo en un punto en particular que es en L/4 y no en un x generico?

[arivasm]

Re: solenoide

Confirmo todo lo que has escrito en 1), 2) y 3). Con el sentido del campo, hay una regla de mano derecha muy sencilla para recordarlo: el pulgar apunta en el sentido del campo en el eje, mientras que los demás dedos tienen el sentido de giro de la corriente en la espira.

Vamos con el resto:

4) El siguiente paso seria integrar esa expresion ? y la idea es que sea para todo el solenoide no? entonces porque los extremos no son entre 0 y L?

Efectivamente: hay que integrar la expresión, para todo el solenoide. Además, la integral hay que hacerla desde el principio hasta el final. Y aquí entrará en juego qué variable uses para ello. En la ecuación (6) del post de Al se maneja una coordenada x con x=0 en el centro del solenoide, y entonces que toma valores desde -L/2 hasta L/2. En la (5) que puse yo se manejaría otra cosa diferente: la x que va desde el centro de cada espira hasta el punto de cálculo (es decir, la x de la última fórmula que has escrito en el post anterior), pero quizá veas más claro la de Al. Por último, nada impide que uses una x que vaya desde 0 hasta L.

Para aclarar esto último hagamos un cambio de nombre, para no liarnos con las letras: reservemos la letra x para referirnos a la coordenada y usemos otra letra diferente, por ejemplo $s$ en la expresión del campo que crea una espira, de manera que $s$ sea la distancia entre el centro de la espira y el punto de cálculo. De esa manera, escribiremos

$$\dst \dd B_x =\frac{\mu_0}{2 } nI \frac{R^2}{{(s^2+ R^2)}^{3/2 } } \dd x$$

Tanto en el caso de que uses la x de Al como si usas una x que vaya desde 0 hasta L, habrá que cambiar adecuadamente esta fórmula para poder hacer la integral. Por ejemplo, pensemos en tu propuesta: x=0 está en un extremo del solenoide, y x=L está en el otro. El punto de cálculo estará en x=L/4, si lo queremos al lado del extremo que está en x=0, o bien x=3L/4 si queremos considerar el punto que está a L/4 del extremo "derecho". Aunque el resultado será el mismo en ambos casos, yo me referiré al segundo simplemente por cómo has hecho el dibujo.

La distancia entre la espira que esté en un x cualquiera y el punto de cálculo será

$$\dst s=\frac{3L}{4}-x$$

con lo que (7) la manejaremos como

$$\dst \dd B_x =\frac{\mu_0}{2 } nI \frac{R^2}{\left[\left(\frac{3L}{4}-x\right)^2+ R^2\right]^{3/2 } } \dd x$$

y habrá que hacer la integral

$$\dst B=\int_0^L \dd B_x = \frac{\mu_0}{2 } nI \int_0^L \frac{R^2}{\left[\left(\frac{3L}{4}-x\right)^2+ R^2\right]^{3/2 } } \dd x$$

al hacer esto lo que estaria haciendo es sumar (integrar) todas las espiras que forman el solenoide donde cada una de ellas se asume que transporta una corriente di, esto es asi?

"No exactamente" o más bien "casi": En realidad, cada espira del solenoide "de verdad" transporta una corriente I. Lo que sucede es que, como has escrito en tu último post, en $\dd x$ habrá $\dd N$ espiras muuuuy juntas, siendo $\dst \dd N=\frac{N}{L}\dd x=n\dd x$. Como cada una porta una corriente de intensidad I ese conjunto se comportará como si fuese una sola espira que porta una corriente $\dd i=I\dd N=n I \dd x$, y por eso podemos usar (7).

en que momento entra en juego el hecho de que me pide el campo en un punto en particular que es en L/4 y no en un x generico?

Como hemos visto, si en vez de ser el punto situado a una distancia L/4 de un extremo fuese otro cualquiera habría que cambiar en (8) la distancia entre el punto de cálculo y el centro de la espira genérica. Por ejemplo, si llamamos $x_P$ a la coordenada del punto de cálculo, (8) sería

$$s=x_P-x$$

[LauraLopez]

Re: solenoide

COn respecto a la direccion y sentido del campo no me quedo claro, esta bien lo que dije de que la direccion sera paralela al eje X? con respecto al sentido creo que no puedo saber cual es porque para aplicar esa regla que decis debo conocer ocmo circula la corriente y ese dato no me lo da el enunciado... entonces la respuesta puede ser tanto par ala derecha como para la izquerda o no? POr ultimo ahora me falta ver como resolver esa integral?

SI hago el cambio de variable $t= \frac{3}{4 }L - x$ tengo :

$\dst B = - \frac{\mu_0}{2 } n In \int_\frac{3L}{4 }^\frac{-L}{4 } \frac{R^2}{({t^2+ R^2})^{3/2 } } dt<br />$

Luego como puedo seguir?
Gracias

[arivasm]

Re: solenoide

Ciertamente, el sentido del campo (que sí será paralelo al eje del solenoide) dependerá del sentido de la corriente. De todos modos, imagino que el objetivo es el módulo del campo, con lo que lo único importante es que todas las espiras originan campos del mismo sentido, de manera que el módulo de la suma es igual a la suma de los módulos.

Para hacer la integral tiene razón Al, es mejor el cambio de variable $\tan t=(\frac 3 4 L - x)/R$.

[LauraLopez]

Re: solenoide

No entiendo como hacer esa sustitucion....tengo que hacer $\dst \tan t = (\frac{3}{4 }L - x)/R$ ??
y despues derivar? me va a quedar una secante cuadrada.... no queda mas complicada la integral asi?

[Al2000]

Re: solenoide

Laura, déjame hacerle el quite a Antonio. Partiendo de su ecuación (10), tienes

$$B = \frac{\mu_0 n I} 2 \int_0^L \frac{R^2}{\left[\left(x - \frac{3L} 4 \right)^2+ R^2\right]^{3/2 } } \, dx$$

$$x - \frac {3 L} 4 = R \tan t \quad \Rightarrow \quad dx = R \sec ^2 t \,dt$$

Sustituyendo:

$$B = \frac{\mu_0 n I} 2 \int_{t_1}^{t_2} \frac{R^2}{\left[\left(R \tan t \right)^2+ R^2\right]^{3/2 } } R \sec ^2 t\, dt = \frac{\mu_0 n I} 2 \int_{t_1}^{t_2} \frac{R^3 \sec ^2 t}{R^3 \sec ^3 t }\, dt = \frac{\mu_0 n I} 2\int_{t_1}^{t_2} \cos t\, dt$$

O sea

$$B = \frac{\mu_0 n I} 2(\mathrm {sen} \, t_2 - \, \mathrm {sen} \, t_1)$$

Los valores de $\mathrm {sen} \, t_1$ y $\mathrm {sen} \, t_2$ se obtienen inmediatamente construyendo un triángulo rectángulo con catetos $x - 3L/4$ y $R$:

$$\mathrm {sen} \, t = \frac {x - \frac {3L} 4} {\sqrt {\left(x - \frac {3L} 4\right)^2 + R^2}} \quad \Rightarrow \quad \mathrm {sen} \, t_1 = \frac {- \frac {3L} 4} {\sqrt {\left(\frac {3L} 4\right)^2 + R^2}},\,\,\mathrm {sen} \, t_2 = \frac { \frac L 4} {\sqrt {\left(\frac L 4\right)^2 + R^2}}$$

Finalmente

$$B = \frac{\mu_0 n I L} 8 \left [\frac 1 {\sqrt {\left(\frac L 4\right)^2 + R^2}} + \frac 3 {\sqrt {\left(\frac {3L} 4\right)^2 + R^2}} \right ]$$

Saludos,

Al