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[LauraLopez]

Consideremos un solenoide que tiene n espiras por unidad de longitud, siendo su longitud total L y que lleva una corriente I. Calcular el campo magnetico B en un punto del eje central, que se encuentra a una distancia L/4 de uno de sus extremos

Mirando uno parecido en el libro esto es lo que pude hacer :

Si n= N/L es el numero de vueltas por unidad de longitud, en el elemento de longitud dx a una distancia de L/4 del origen o del extremo b existen ndx vueltas del alambre, cada una de las cuales transporta una corriente I. Por tanto, el elemento es equivalmente a una simple espira que transporta una corriente $\dst di=nIdx$

Hasta ahi va bien? y ahora como seguiria?

Gracias

[Al2000]

Re: solenoide

Precalcula el campo que produce una corriente circular en un punto sobre su eje. Deberás llegar a la expresión $\dst B_{(x)} = \frac {\mu_0 I} 2 \frac {R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$. Armada con este conocimiento, divide el solenoide en infinitas espiras de grosor infinitesimal $dx$, cada una con una corriente $di = n I \, dx$, e integra sobre toda la longitud del solenoide.

Saludos,

Al

PD. Para que te sea mas sencillo de visualizar, modifica el dibujo que elaboraste colocando la espira un poco mas atrás (o mas adelante), a una distancia $x$ del origen. De esa manera podrás ver y mostrar en la gráfica que el punto donde estás calculando el campo (x = L/4), se encuentra a la distancia $|x - L/4|$ del centro de la espira.

[LauraLopez]

Re: solenoide

mmmm hago lo primero que me dijiste o lo de la PD? lo de la PD mucho no lo entendi....ese punto X no tiene que ser justamente L/4 que es lo que hice? porque hay que integrar sobre toda la longitud del solenoide? si me pide el campo en un punto solo en particular

- - - Actualizado - - -

si me pide que calcule en L/4 porque es que me conviene usar un X generico? y no usar directamente L/4?

[arivasm]

Re: solenoide

El campo magnético que produce en un punto un conjunto de corrientes es la suma de los campos que originan dichas corrientes por separado. Es por eso que te dice Al que imagines el solenoide como una colección de corrientes, cada una de las cuales genera un campo en el punto de cálculo. El campo objetivo del ejercicio será la suma de esos campos.

Una buena aproximación para este cálculo, que nos evita hacer sumas engorrosas (que reemplazaremos por integrales) e incluso manejar las corrientes con su verdadera forma consiste en imaginar una colección de espiras circulares, de manera que en un fragmento de solenoide de logitud dx hay un número de espiras dn que, por supuesto, debe guardar la misma relación espiras/longitud (n=N/L) que el solenoide. De ahí que haya que asociar a cada una una corriente infinitesimal

$$\dst\dd i=I \frac{N}{L} \dd x=n I \dd x$$

que creará un campo también infinitesimal en cada punto de su eje dado por

$$\dst\dd B_x=\frac{\mu_0}{2}\dd i\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0}{2}n I\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd x$$

donde $R$ es el radio de la espira y $x$ es la distancia entre el punto considerado y el centro de la espira.

Eso sí, como te ha señalado Al, tu primer objetivo deberá ser demostrar la expresión (2). Es decir, que el campo que produce una espira circular de radio $R$ que porta una intensidad $i$ en un punto del eje a una distancia $x$ al centro de la espira es

$$\dst B_x=\frac{\mu_0}{2}i\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}$$

pues es la justificación de (2)

Una vez que tengas claro que (2) es correcto, piensa que el punto de cálculo estará a una distancia respecto del centro de las espiras infinitesimales en las que imaginamos dividido el solenoide, que variará desde $3L/$ hasta $-L/4$. Por tanto, la solución al problema pasará por hacer la integral

$$\dst B_x=\int_{3L/4}^{-L/4}\frac{\mu_0}{2}n I\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd x=\frac{\mu_0}{2}n I \int_{3L/4}^{-L/4}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\dd x$$

lo que también, a buen seguro, dará lugar a alguna pregunta.

[Al2000]

Re: solenoide

Laura, una pequeña corrección a lo que puso Antonio, que parece estar considerando que el solenoide tiene una longitud 2L... si colocas el origen de coordenadas en el punto a la distancia L/4 de un extremo del solenoide, entonces el campo quedaría:

$$B_x = \frac{\mu_0}{2}n I \int_{-3L/4}^{L/4}\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}\,dx$$

Si mantienes el origen de coordenadas que dibujaste inicialmente (es decir, en el punto medio del solenoide), entonces la integral quedaría

$$B_x = \frac{\mu_0}{2}n I \int_{-L/2}^{L/2}\frac{R^2}{[R^2+(x-L/4)^2]^{3/2}}\,dx$$

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: solenoide

Gracias, Al. Menos mal que estás en todo. Rectificaré el error en el post.

[LauraLopez]

Re: solenoide

Sigo muy perdida con la idea de como se resuelve el ejercicio mas alla de las cuentas que hacen que tampoco veo de donde vienen...el dibuje que hice esta mal? no entiendo porque no debo dibujar el dx a una distancia L/4. porque hacen las cuentas genericas para un X?

Entiendo que tengo que pensar el solenoide como n espiras de corriente y me interesa en particular calcular el campo a una distancia L/4 del origen asumo que el origen esta en el centro del solenoide y luego que hago?
Tambien entendi lo de que es di= nIdx pero despues no comprendo el siguiente paso, cual es la idea?

- - - Actualizado - - -

Tengo que calcular el campo que produce una espira generica o el campo que produce una espira que este a la distancia L/4?

[arivasm]

Re: solenoide

Cada espira del solenoide estará a una distancia diferente del punto de cálculo. Por eso no puedes usar la misma distancia para todas ellas.

Comienza, como te hemos dicho, por determinar la expresión para el campo que produce una espira circular en un punto de su eje que esté a una distancia arbitraria del centro de la espira (por la razón anterior).

[LauraLopez]

Re: solenoide

o sea en el dibujo anterior esta mal entonces? tengo que cambiar donde puse L/4 por x? o sea considerar una espira a una distancia x del centro y me decis que calcule el campo que produce esa sola espira?

[arivasm]

Re: solenoide

Sí, el dibujo estaba mal. A L/4 estará el punto de cálculo. La espira debe estar en una posición genérica.

Respecto del campo de una espira, insisto de nuevo: sí, debes encontrar cómo es el campo que produce en los puntos de su eje, para poder aplicarlo al problema

[LauraLopez]

Re: solenoide

Bueno entonces ahi arregle el dibujo, luego entonces determino el campo que produce una espira que esta a una distancia x del centro del solenoide y llego a que el mismo es :

$\dst dB_x = \frac{\mu_0}{2 } nI \frac{R^2}{{(x^2 + R)}^{ ^3/2} } dx$ esto lo llego por la ley de Biot-Savart

Luego como sigo tengo que integrar dicha expresion con respeto a x?

- - - Actualizado - - -

esta por tabla esa integral?

- - - Actualizado - - -

como hiciste para que desaparezca el n al integrar? porque tu resultado no queda el n...

[arivasm]

Re: solenoide

¿No te causó problemas encontrar la fórmula del campo que produce una espira circular? Lo digo porque en su demostración hay un paso (al hacer la integral) en el que la gente suele tropezar. ¿No tuviste problemas porque los elementos de corriente producen campos que tienen direcciones diferentes?

Sobre la n, no ha desaparecido (mira la ec.4 mía, o la 5 de Al), simplemente ha salido fuera de la integral.

Para hacer la integral yo haría en primer lugar el cambio de variable $t=x/R$, si usas la integral (5), o $t=(x-L/4)/R$ si usas la (6) de Al, para que el integrando quede de la forma $\dd t/(\sqrt{1+t^2})^3$; si después haces el cambio $u=1/\sqrt{1+t^2}$ creo que no debería ser demasiado complicado resolverla.

[Al2000]

Re: solenoide

Es mas directo con el cambio $x = R \tan \theta$...

[LauraLopez]

Re: solenoide

creo que estan mas adelantados que yo.....lo que yo escribi es que llegue hasta lo que seria tu ecuacion (2) mi pregunta es como llegar a tu ecuacion (3) que creo que es el siguiente paso no? que en esa ecuacion NO aparece la n. Y no se de que problema decis que pude haber tenido porque como vez aun no integre nada para dicho resultado

O sea hasta ahora tengo una expresion para el diferencial del campo de 1 sola espira no? o en realidad no es 1 sola sino que son la cantidad de espiras que entraron en ese diferencial de x?, mi pregunta es como llegar a lo que seria tu expresion 3 y tener la expresion para el campo que produce una sola espira es una posicion x o varias espiras no me queda claro como es la situacion....


Igualmente no veo como esto me ayudara a calcular lo que me pide el enunciado.....

[arivasm]

Re: solenoide

La ecuación (2) es la aplicación de la (3) al caso en que la intensidad en la espira sea $\dd i=n I \dd x$.

Por eso, lo primero que debes hacer es demostrar que en esta situación

el campo vale $\dst B_x=\frac{\mu_0}{2}i\frac{R^2}{(R^2+x^2)^{3/2}}$

Después hablaremos de que en vez de una espira sea un solenoide finito.

Terminaré aclarando que el ejercicio objeto de este hilo no es precisamente de los más fáciles, pero sí de los mejores para aprender a usar la ley de Biot y Savart.