1r ciclo Problema intensidad de energía de una radiación.

[Gabare]

Feliz navidad a todos. Me han mandado un ejercicio de electromagnetismo-termodinámica que me tiene bastante mosca. Éste dice que dada la ecuación de la intensidad de energía de una radiación por unidad de frecuencia:
I_{v}(T)=\frac{2\pi h}{c^{2}}\frac{\nu ^{3}}{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}-1}}
Y que tiende a 0 en v=0 y v infinito, demostrar que si x=\frac{h\nu }{k_{B}T} la ecuación del máximo de Iv(T) será:
x=3(1-e^{-x})

Le llevo dando vueltas un rato bastante largo, primero he agrupado todo como una constante (Ya que la ecuación solo posee la variable T y se encuentra dentro de la x, pasando a ser la variable x) dejando \frac{1}{e^{x-1}} y derivando e igualando a cero para intentar obtener el máximo despejando, pero si hago esto acabo llegando a -e^{1-x}=0. Nada parecido a lo que tengo que llegar. Creo que tiene que ser por otro camino, pero no se me ocurre absolutamente nada. Tal vez debería derivar usando \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} o este tema no tiene nada que ver con derivadas?

Gracias!

[arivasm]

Re: Problema intensidad de energía de una radiación.

Feliz navidad a todos. Me han mandado un ejercicio de electromagnetismo-termodinámica que me tiene bastante mosca. Éste dice que dada la ecuación de la intensidad de energía de una radiación por unidad de frecuencia:
$I_{v}(T)=\frac{2\pi h}{c^{2}}\frac{\nu ^{3}}{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}-1}}$
Y que tiende a 0 en v=0 y v infinito, demostrar que si $x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ la ecuación del máximo de Iv(T) será:
$x=3(1-e^{-x})$

Le llevo dando vueltas un rato bastante largo, primero he agrupado todo como una constante (Ya que la ecuación solo posee la variable T y se encuentra dentro de la x, pasando a ser la variable x) dejando $\frac{1}{e^{x-1}}$ y derivando e igualando a cero para intentar obtener el máximo despejando, pero si hago esto acabo llegando a $-e^{1-x}=0\Leftrightarrow$. Nada parecido a lo que tengo que llegar. Creo que tiene que ser por otro camino, pero no se me ocurre absolutamente nada. Tal vez debería derivar usando $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ o este tema no tiene nada que ver con derivadas?

Gracias!

Antes de nada, para que se vean las ecuaciones en los mensajes debes encerrarlas entre [tex] y [/tex].

En primer lugar, me temo que la ley que debes optimizar no es $\dst I_{v}(T)=\frac{2\pi h}{c^{2}}\frac{\nu ^{3}}{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}-1}}$, sino $\dst I_{v}(T)=\frac{2\pi h}{c^{2}}\frac{\nu ^{3}}{e^{\frac{h\nu }{k_{B}T}}-1}$

En segundo lugar, cuando haces el cambio de variable estás olvidando la $\nu^3$ del numerador, que te llevará a que la función a optimizar no sea la que dices, sino $\dst\frac{x^3}{\ee^x-1}$