Otras carreras 2 circuitos acoplados magnéticamente

[LauraLopez]

En la figura se muestra un circuito RL acoplado magneticamente a un segundo circuito que se encuentra abierto. Exprese la fem inducida en este ultimo mientras dura el transitorio en el primero y grafique ambas corrientes.
R = 100 ohms
L = 400 mHy
M= 800 mHy
E = 24 Volts.


No entiendo bien el dibujo del primer circuito...la M que representa? alguna ayuda para resolverlo?

Gracias

[arivasm]

Re: 2 circuitos

Francamente, no veo qué significado puede tener esa M del dibujo, ni la barra vertical que dibujan encima de ella.

Para resolver el ejercicio simplemente ten en cuenta que $\epsilon_2 = -M\dot I_1$. Por tanto, el ejercicio es totalmente análogo a que te pidiesen que encuentres la expresión de la intensidad en el circuito inductor (el ejercicio es análogo a otro que hiciste), y que la derives y multipliques por -M.

[LauraLopez]

Re: 2 circuitos

no te falto el signo menos en esa formula?


Seria $\dst \varepsilon_2 = - M \frac{\varepsilon}{L } {e}^{-t\\tau }$

esa seria la respuesta? queda asi expresada en un t generico?

[arivasm]

Re: 2 circuitos

Sí, tienes razón: olvidé el signo menos. La respuesta necesariamente será una función.

[LauraLopez]

Re: 2 circuitos

me salio mal la formula anterior, seria t/tau

y con respecto al grafico de las corrientes?

La corriente 1 sera $\dst I_1(t) = \frac{\varepsilon}{ R} (1 - {e}^{-t/\tau })$
reemplazo con los valores y grafico no? y la corriente I2?

en el enunciado dice "exprese la fem mientras dura el transitorio en el primero" que es eso de que dura el transitorio?

[arivasm]

Re: 2 circuitos

Sí, ya vi que dice "las corrientes", cuando en realidad sólo hay una. Entiendo que no te piden que hagas la gráfica de $I_2$, pues $I_2(t)=0$, sino que se trata de hacer la gráfica de $\epsilon_2(t)$.

La idea de transitorio es que la corriente $I_1$ cambiará de 0 a $\epsilon/R$. Aunque, como cualquier exponencial, tenderá asintóticamente a ese valor, en la práctica se entiende que el proceso tendrá cierta duración, es decir, ocurrirá de manera transitoria.

El concepto no es muy diferente de lo que sucede cuando apagas la luz eléctrica (y usas bombillas de incandescencia): la luz no desaparece instantáneamente (algo que se nota muy bien en las lámparas de los automóviles) sino que decae exponencialmente hacia el valor 0. Sin embargo, nadie dirá "la bombilla permanecerá emitiendo luz hasta el fin de los tiempos", sino que "tras pulsar el interruptor hay un fenómeno transitorio hasta que finalmente queda apagada".

En resumen "mientras dura el transitorio en el primero" se refiere a mientras está cambiando la intensidad en el primero.

[LauraLopez]

Re: 2 circuitos

pero como es este problema entonces? la corriente I1 se corresponde con el circuito graficado ? es la que aparece al cerrar el interruptor? igual yo veo 1 solo circuito....no veo cual es ese otro circuito que se menciona.
La grafica de la corriente sea entonces la grafica de esa funcion I1(t) ?

en realidad esa fem que calcule porque aparecio? y si aparecio una fem por ende tambien aparecio una corriente I2 o no?

[arivasm]

Re: 2 circuitos

El otro circuito es la espira que está arriba a la derecha. Simplemente es un circuito abierto, en lugar de uno cerrado.

Por cierto, ya entiendo eso de la M y la barra vertical. Si te fijas hay dos barras verticales, una de ellas entre la bobina superior. Simplemente sucede que al hacer el dibujo la bobina superior se desplazó hacia la derecha. Las dos barras verticales son conductores conectados a los extremos de esa bobina, y la M expresa que habrá cierta inducción mutual con el circuito inferior.

Sobre las gráficas, entiendo que te piden las de $I_1(t)$ y $\epsilon_2(t)$.

La fem en 2 aparece por inducción electromagnética (variación del flujo magnético a su través). No hay corriente porque al ser un circuito abierto su resistencia es infinita, luego por la ley de Ohm $I_2(t)=0$.

[LauraLopez]

Re: 2 circuitos

ta bien...entonces lo que me dice es que cierro el interruptor y durante el tiempo que tarda en alcanzar la intensidad I1 en el circuito RL calcule la fem inducida en el cirtuito 2 que es un circuito formado por una inductancia nada mas.
es asi?

$\dst \varepsilon_2 = - M \frac{dI_1}{dt } = - M \frac{\varepsilon}{L } {e}^{-t/ \tau\tau }$

$\dst \varepsilon_2 = - 0,8 \frac{24}{0,4 } {e}^{- t / 0,04 }$ , con $\dst \tau = \frac{L}{R } = \frac{0,4}{10 } = 0,04$

$\dst \varepsilon_2 = - 48 {e}^{-25 t }$


eso tengo que graficar? tenderia asintoticamente a cero? arrancando desde los negativos?

Luego $\dst I_1(t) = 2,4 (1 - {e}^{-25 t })$

estarian bien las graficas?

[arivasm]

Re: 2 circuitos

Correcto. Sólo faltan las unidades.

[Alriga]

$\dst \varepsilon_2 = - 48 {e}^{-25 t }$

$\dst I_1(t) = 2,4 (1 - {e}^{-25 t })$

Ese resultado no es correcto. En general, para un circuito con acoplamiento magnético con los "puntos" del acoplamiento y los sentidos de las corrientes de la imagen de arriba, podemos resolverlo de 2 formas:

$v_1=v_A-v_B \ , \qquad v_2=v_C-v_D$

a) Estableciendo y resolviendo las ecuaciones diferenciales.

2 ecuaciones para la inducción mútua:

$$v_1=L_1 \dfrac{di_1}{dt}+M\dfrac{di_2}{dt}$$

$$v_2=L_2 \dfrac{di_2}{dt}+M\dfrac{di_1}{dt}$$

Otras 2 ecuaciones, que son la 2ª ley de Kirchhoff en el circuito primario y la 2ª ley de Kirchhoff en el circuito secundario:

$$e=R_1 i_1+v_1$$

$$v_2=-R_2 I_2$$

En el caso particular de este enunciado el secundario del transformador está en vacío y por lo tanto

$i_2=0 \ , \quad R_2=\infty$

La ecuación (4) no se utiliza y obtenemos a partir de (1), (2) y (3)

$$e=R_1 i_1+L_1 \dfrac{di_1}{dt}$$

$$v_2=M\dfrac{di_1}{dt}$$

Como en este caso particular $e(t)=E=cte$ la ecuación diferencial (5) es en variables separadas:

$\dfrac{L_1}{E-R_1 i_1} \ di_1=dt$

Integrando, imponiendo que la corriente inicial es nula y despejando $i_1$ obtenemos:

$$i_1(t)=\dfrac E{R_1} \left ( 1-\ee^{-\frac{R_1}{L_1} t} \right )$$

Derivando y sustituyendo en (6) obtenemos la f.e.m. inducida en el secundario del transformador que se solicita en el enunciado:

$$v_2(t)=E \ \dfrac M{L_1} \ \ee^{-\frac{R_1}{L_1} t}$$

b) Resolviendo el circuito en el dominio operacional, (transformadas de Laplace)

$$E(s)=R_1 I_1+sL_1 I_1+sMI_2$$

$$V_2=sM I_1+sL_2 I_2$$

En este caso particular:

$I_2=0$

$E(s)=\dfrac E s$

Sustituyendo en (7) y despejando la corriente:

$I_1=\dfrac E{s (R_1+sL_1)}$

$I_1(s)=\dfrac E{sR_1}-\dfrac{L_1}{R_1} \ \dfrac E{R_1+sL_1}=\dfrac E{R_1} \left ( \dfrac 1 s-\dfrac 1{s+\dfrac{R_1}{L_1}}\right )$

Realizando la transformada inversa de Laplace:

$$i_1(t)=\dfrac E{R_1} \left ( 1-\ee^{-\frac{R_1}{L_1} t} \right )$$

A partir de (8)

$V_2=\dfrac{E \ M}{R_1+sL_1}$

Realizando la transformada inversa de Laplace:

$$v_2(t)=E \ \dfrac M{L_1} \ \ee^{-\frac{R_1}{L_1} t}$$

c) En el caso particular de este ejercicio:

$E=24 \ V$

$L_1=400 \ mH$

$M=800 \ mH$

$R_1=100 \ \Omega$

$$i_1(t)=0.24 \ \big ( 1-\ee^{-250 t} \big )$$

$$v_2(t)=48 \ \ee^{-250 t}$$

Saludos.