Otras carreras Transformador

[LauraLopez]

HOla! la duda es explicar como es el funcionamiento de un transformador (en detalle ) , usando el concepto del coeficiente de inductancia mutua. En varios lados encuentro que llegan a esta relacion :

$\dst \frac{V_p}{N_p } = \frac{V_s}{N_s }$ donde s y p corresponden a secundario y primario.

pero no entiendo bien como llegar a esa relacion .

O sea la duda es poder explicar el funcionamiento de un transformador y llegar a esa formula pasando por el concepto de inductancia mutua

Gracias

[arivasm]

Re: Transformador

El transformador de corriente alterna consiste en dos bobinados arrollados alrededor de un núcleo ferromagnético común a ambos. La finalidad de este último está en que las espiras de ambos bobinados compartan el flujo magnético. Un transformador ideal cumple en primer lugar que no hay resistencia eléctrica y en segundo que lo anterior se da de manera estricta, de manera que absolutamente toda línea que pase a través de una espira de uno de los bobinados también lo hará a través de todas las demás espiras, tanto del bobinado propio como del otro bobinado.

Vamos a ver que la transformación del voltaje se debe a la inducción mutua. Consideremos que en uno de ellos (el primario) se aplica una fem variable $\epsilon_1$, que causará a su vez una intensidad variable en dicho bobinado $I_1$, que causará una caída de tensión $-L_1\dot I_1$ (haciendo uso del concepto de coeficiente de autoinducción). Ahora bien, como no hay resistencia eléctrica, esa caída de tensión será igual a la fem aplicada, de manera que

$$\dst \epsilon_1=-L_1\frac{\dd I_1}{\dd t}$$

Puesto que tenemos una intensidad variable, eso causará un flujo magnético a través del circuito 2 que será también variable, cumpliéndose entonces que en éste se inducirá una fem

$$\dst \epsilon_2=-M\frac{\dd I_1}{\dd t}$$

Por supuesto, podemos intercambiar los índices 1 y 2 y tendremos las expresiones correspondientes que nos relacionarán ambas fem con la intensidad que circula por el bobinado 2.

Una salida para encontrar la expresión que indicas sería encontrar la expresión para los coeficientes de inducción de ambos bobinados. Por ejemplo, las cosas se vuelven muy sencillas si ambos bobinados sólo se diferencian en el número de vueltas pero tienen la misma longitud $l$ y área $S$. De esa manera:

$$\dst L_1=\mu \frac{N_1^2}{l}S$$

$$\dst L_2=\mu \frac{N_2^2}{l}S$$

Además hay que encontrar la expresión para el coeficiente de inducción mutua. En el caso sencillo que comenté antes será

$$\dst M=\mu \frac{N_1 N_2}{l}S=\sqrt{L_1L_2}$$

Por cierto, si no me equivoco, la última igualdad será general si se cumple la condición de compartir idealmente todo el flujo (y no sólo si ambos solenoides comparten la misma longitud).

Si ahora dividimos (1) entre (2) tenemos que

$$\dst\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}=\frac{L_1}{M}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\frac{N_1}{N_2}$$

De todos modos, hay otra salida más sencilla: si todas las espiras comparten completamente el flujo entonces, si llamamos $\Phi$ al flujo que atraviesa a una espira (recordemos que será el mismo en todas),

$$\dst\epsilon_1=-N_1\frac{\dd\Phi}{\dd t}$$

$$\dst\epsilon_2=-N_2\frac{\dd\Phi}{\dd t}$$

Si dividimos miembro a miembro tenemos la expresión buscada:

$$\dst\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}=\frac{N_1}{N_2}$$

[LauraLopez]

Re: Transformador

ahi me va quedando mucho mas claro, sin embargo las formulas (3) (4) y (5) de donde salen?

[arivasm]

Re: Transformador

Antes de nada: he corregido esas fórmulas, pues faltaba el área de los solenoides.

(3) y (4) salen del modelo del solenoide infinito: como el campo magnético de un solenoide es

$\dst B=\mu \frac{N}{l}I$

el flujo magnético será

$\dst \Phi = N B S=\mu \frac{N^2}{l}S I$

y entonces el coeficiente de autoinducción

$\dst L=\frac{\Phi}{I}=\mu \frac{N^2}{l}S$

Para el coeficiente de inducción mutua (5) la demostración es semejante.

[LauraLopez]

Re: Transformador

ahi entendi bien

Entonces esta seria una explicacion desde el punto de vista de la inuctancia mutua y tambien hay otra explicacion que se puede dar que es desde un punto de vista de transferencia de potencia no? creo que esta ultima es la que menciona el resnick y que me resultaba mas compleja de entender

[arivasm]

Re: Transformador

Si no recuerdo mal la demostración basada en la transferencia de potencia se entiende si se manejan conceptos de corriente alterna, pero creo que todavía no los has estudiado.

[LauraLopez]

Re: Transformador

si ya algo vi de corriente alterna,igualmente me gusta mas la explicacion usando inductancia mutua que diste vos

[arivasm]

Re: Transformador

A ver si me acuerdo (para el caso sencillito de que ambos solenoides tengan la misma longitud y área): como no hay pérdidas de potencia tendremos que $\epsilon_1(t)I_1(t)=\epsilon_2(t)I_2(t)$. Por otra parte, $\epsilon_1(t)=I_1(t)iL_1\omega$ y análogamente para 2. Despejando las intensidades y substituyendo en la primera expresión tenemos que $\dst \frac{\epsilon_1(t)^2}{iL_1\omega}=\frac{\epsilon_2(t)^2}{iL_2\omega}$. Además de $i$ y $\omega$, que se simplifican, al meter en juego los coeficientes de autoinducción en los denominadores nos quedarán sólo el número de vueltas al cuadrado, de manera que $\dst \frac{\epsilon_1(t)^2}{N_1^2}=\frac{\epsilon_2(t)^2}{N_2^2}$.

No es una demostración (por lo particular del caso), pero da idea de por dónde irían los tiros...

[LauraLopez]

Re: Transformador

y una duda que me surgio con respecto a la primera explicacion que me diste en el post numero 2, tenesmo que la bobina de la izquierda (primaria) estara conectada a una fuente de corriente alterna no? y el otro bobinado ( secundario) queda abierto? o es un circuito cerrado? o sea para agregarle un dibujo a la explicacion......

[arivasm]

Re: Transformador

Sí, te entiendo. En la primera explicación la idea es que una de las bobinas está unida a un generador, mientras que en la otra se tiene una fem inducida (con lo que, a su vez, puede actuar como generador). De todos modos, esos roles son intercambiables.

- - - Actualizado - - -

El dibujo típico es éste.

[LauraLopez]

Re: Transformador

esta bien....entonces necesariamente en la bobina secundaria hablamos de un circuito cerrado? o el hecho de que en ese dibujo este cerrado es indiferente? o sea se podria no haber dibujado la resistencia? y entonces quedar un circuito abierto e igualmente se induciria la fem?


Luego una duda mas (perdon que sea tan molesta con las dudas ) mientras esperaba tu respuesta y leia sobre transformadores encontre una pagina : http://delibes.tel.uva.es/tutorial_c...4/transfor.htm

La explicacion resulta bastante clara ahora que vos me enseñaste este tema, sin embargo algunas dudas me aparecieron asi que te las comento.

Por un lado en tu explicacion llegaste a una formula que es :

$\dst L_1 = \mu_0 \frac{N_1 ^2 S}{l }$ y en la pagina esta que te pase en un momento llegan a la formula $\dst L_1 = K N_1 ^2$ lo cual me da a pensar que esa constante K que utiliza la pagina seria simplemente $\dst K = \frac{\mu_0 S}{l }$ es asi?

En la pagina definen al K como el coeficiente de acoplamiento.....

Luego en la pagina llegan a la formula $\dst K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2} }$

donde aclaran " [FONT=Times New Roman]K es una medida de la cantidad de flujo que genera una corriente que circula en una bobina, la cual enlaza las vueltas de la otra bobina. Si esta cantidad es pequeña, las bobinas están acopladas débilmente. Por otra parte, si la totalidad del flujo generado por una bobina enlaza las vueltas de la otra, las bobinas están perfectamente acopladas (K=1)."
[/FONT]
Si hacemos K=1 como dicen, que supongo que eso seria como decir que el transformador es ideal no? llegamos a la misma igualdad que habias llegado vos$\dst M = \sqrt{L_1 L_2}$ asi que me parece correcto pero igualmente la duda es que no logre llegar a esa expresion que dice la pagina....

En lugar de obtener esto $\dst K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2} }$ , haciendo reemplazos con las formulas que ahi dan obtengo $\dst K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2} } K$ ( es un error mio de distraida? )

Finalmente luego habla de inductancia mutua positiva e inductancia mutua negativa, no era que el coeficiente M era un numero siempre positivo? al igual que como ocurre con L? porque tiene sentido esto de hablar de inductancia positiva o negativa ahora?
[FONT=Times New Roman]
[/FONT]

[arivasm]

Re: Transformador

sea se podria no haber dibujado la resistencia? y entonces quedar un circuito abierto e igualmente se induciria la fem?

Como ya comentamos en alguna ocasión, el cierre del segundo circuito sólo es necesario para que haya corriente. Ahora bien, habrá fem inducida esté abierto o cerrado.

Por un lado en tu explicacion llegaste a una formula que es :

y en la pagina esta que te pase en un momento llegan a la formula lo cual me da a pensar que esa constante K que utiliza la pagina seria simplemente es asi?

La fórmula que usé era muuuuy aproximada, pues se corresponde con el caso del solenoide infinito. En ese texto hacen las cosas con bastante más seriedad que el enfoque que yo usé. Por eso (pero sin demostrarlo) prefieren destacar que la autoinducción siempre es proporcional al cuadrado del número de espiras, y usan unas $K_1$ y $K_2$ para introducir la constante de proporcionalidad en cada bobinado.

A este respecto diré que no me suena del todo bien eso de que $K_1=K_2=K$ (yo apostaría porque cada $K_i$ es diferente). Desde luego, lo que sí tengo claro es que la K que ponen en esa expresión no puede ser el coeficiente de acoplamiento: mientras que las $K_i$ tienen unidades de inductancia (H), el coeficiente de acoplamiento es adimensional (es u número). Por esa razón se llegaría a la expresión que dices.

Yo creo que en realidad debería ser así (voy a usar k minúsculas para las constantes de proporcionalidad y K para la de acoplamiento): $L_i=k_i N_i^2$, $M=kN_1N_2$; si el flujo es compartido completamente entonces $k=\sqrt{k_1k_2}$, de manera que $M=\sqrt{L_1L_2}$ y entonces $\dst K=\frac{M}{\sqrt{L_1L_2}}=1$

Finalmente luego habla de inductancia mutua positiva e inductancia mutua negativa, no era que el coeficiente M era un numero siempre positivo?

Se trata de una distinción que puede resultar muy conveniente (y uno de esos casos serán los transformadores), especialmente para los ingenieros, pues resulta cómodo a la hora de referirse al diferente sentido que tendrá a la salida del secundario la corriente inducida según como esté bobinado.

La idea sería la siguiente. Si imponemos que los coeficientes de inducción (mutua o no) son siempre positivos entonces sólo podremos elegir el sentido para recorrer el circuito en uno de los circuitos y eso determinará el sentido de recorrido en el otro. Esto se ve mejor si los bobinados están hechos uno sobre el otro: al elegir el sentido de recorrido en uno estaremos eligiendo -por regla de mano derecha- el sentido de los vectores superficie; como los flujos son compartidos entonces esos vectores superficie también son los que corresponden al otro circuito, lo que significa que también debemos recorrerlo de una manera muy determinada.

Sin embargo, en muchos casos nos resultará más cómodo elegir libremente en cada uno de los dos circuitos cómo vamos a recorrerlos. Por cierto, eso ya lo hemos hecho en alguna ocasión. Ahora bien, el precio de poder elegir libremente ambos sentidos (y entonces manejar un criterio diferente para los vectores superficie en ambos y entonces los signos de los flujos magnéticos) es que deberemos aceptar que el signo del coeficiente de inducción mutua deberá ser positivo o negativo según como hayamos hecho la elección de recorridos.

[LauraLopez]

Re: Transformador

tenes razon ahi recorde que por mas que este abierto el circuito habra fem inducida, y por ende tambien hay induccion mutua? porque el bobinado 2 si esta abierto como hace para inducir al bobinado 1? Me da la sensacion de que la unica induccion que hay es la que le hace el 1 al 2.


y eso de los K es asi como decis entonces? como hago para la parte de resolverlo? que cuando lo resuelve dice que K=1 y lo que hace es reemplazar lo que vos llamaste k1 y k2 por el valor 1, o sea creo que no diferencia los k de la forma que hiciste vos...cuando digo K=1 segun tu notacion se refiere a la constante de acoplamiento no? y entonces que valores pongo para k1 y k2 ?

Sigo con el mismo problema de antes de no llegar a la formula que llegan ellos :

$\dst L_1 = k_1 N_1^2$ entonces $\dst N_1= \sqrt{\frac{L_1}{k_1 }}$

$\dst L_2 = k_2 N_2^2$ entonces $\dst N_2= \sqrt{\frac{L_2}{k_2 }}$

$M = k N1 N2$ entonces $\dst M = \sqrt{k_1 k_2} N_1 N_2 = \sqrt {L_1 L_2 }$ como aparece la K mayuscula? y cuando defina que la K mayuscala vale 1, que valor les asigno a las k minusculas? en la pagina como maneja 1 sola K le pone valor 1 y resuelve y llega a la formula esa de transformadores que llegaste vos.

Me refiero a que mas adelante por ejemplo L1 lo reemplaza por $N1^2$ ya que K=1 pero en nuestro caso asi como decis seria $L1 = k_1 N_1^2$ , no puedo reemplazarlo por 1 porque el que vale 1 es el K mayuscula de la constante de acoplamiento

[arivasm]

Re: Transformador

tambien hay induccion mutua?

Sí y no. Sí en cuanto a que sigue cumpliéndose la ley de influencia: $\epsilon_{1,ind}=-M\dot I_2$. No en cuanto a que dicha cantidad será cero, porque $I_2(t)=0$

como aparece la K mayuscula?

Por definición es $K=M/\sqrt{L_1L_2}$. Para que sea igual a 1 *debe* cumplirse que $k=\sqrt{k_1k_2}$, pero no siempre será así (en realidad *nunca* será así, debido a las pérdidas de flujo -es decir a que nunca se compartirá el flujo magnético al 100%-). Quiero decir con esto que cuando dices "entonces $\dst M = \sqrt{k_1 k_2} N_1 N_2 = \sqrt {L_1 L_2 }$" estás dando por hecho que hay compartición de flujo al 100%.

mas adelante por ejemplo L1 lo reemplaza por ya que K=1

Sí, ahí se comen un par de cosas. Yo también creo que tienen errores en el desarrollo, aunque llegan al resultado correcto.