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El enunciado del problema es el siguiente:
Se coloca una esfera que tiene densidad volumétrica de carga Rho y radio a en un campo homogéneo E = Eo·k. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio. (La esfera esta puesta a tierra)
Aquí va mi intento de solución.
Tenemos dos regiones (1) dentro de la esfera (2) fuera de la esfera
Para la región dentro de la esfera (1)
El campo es radial, y se puede hallar mediante la ley de Gauss.
E·S = q/e0;
q = Rho·V
q = Rho · 4/3 · pi · r^3
de donde:
E = Rho·r/(3·e0) en la dirección radial
Ahora para el campo fuera de la esfera (2)
El campo tiene dos componentes, usando coordenadas esféricas, en la dirección de r y en la dirección de theta, existe simetría en función de la otra componente.
Para la solución planteo la ecuación de Laplace para el potencial en dos dimensiones (r,theta), cuya solución ya es conocida, la que está en función de los polinomios de Legendre.
Las condiciones de borde serían:
V (r=a, theta) = 0
V (r=infinito, theta) = Eo·z (El campo no se deforma: como E = Eo·k entonces integrando V = Eo·z, y luego cambio z = r·cos(theta) )
Reemplazo las condiciones de borde en la solución de la ecuación de Laplace y me queda:
V (R, theta) = -Eo·r·cos(theta)·[1-a^3/r^3]
Utilizando que E = -grad V puedo hallar el campo en la dirección radial y en la dirección de theta.
Por favor revisen mi razonamiento y diganme si encuentran errores en el mismo.
Principalmente mis preguntas son: ¿Esta bien que el campo dentro de la esfera sea solamente radial?
¿Esta bien utilizar la ecuación de Laplace para hallar el potencial fuera de la esfera?
¿Esta bien que el campo en la superficie de la esfera tenga solamente componente radial, esto no se aplica unicamente a conductores?
Se coloca una esfera que tiene densidad volumétrica de carga Rho y radio a en un campo homogéneo E = Eo·k. Hallar el campo eléctrico en todo el espacio. (La esfera esta puesta a tierra)
Aquí va mi intento de solución.
Tenemos dos regiones (1) dentro de la esfera (2) fuera de la esfera
Para la región dentro de la esfera (1)
El campo es radial, y se puede hallar mediante la ley de Gauss.
E·S = q/e0;
q = Rho·V
q = Rho · 4/3 · pi · r^3
de donde:
E = Rho·r/(3·e0) en la dirección radial
Ahora para el campo fuera de la esfera (2)
El campo tiene dos componentes, usando coordenadas esféricas, en la dirección de r y en la dirección de theta, existe simetría en función de la otra componente.
Para la solución planteo la ecuación de Laplace para el potencial en dos dimensiones (r,theta), cuya solución ya es conocida, la que está en función de los polinomios de Legendre.
Las condiciones de borde serían:
V (r=a, theta) = 0
V (r=infinito, theta) = Eo·z (El campo no se deforma: como E = Eo·k entonces integrando V = Eo·z, y luego cambio z = r·cos(theta) )
Reemplazo las condiciones de borde en la solución de la ecuación de Laplace y me queda:
V (R, theta) = -Eo·r·cos(theta)·[1-a^3/r^3]
Utilizando que E = -grad V puedo hallar el campo en la dirección radial y en la dirección de theta.
Por favor revisen mi razonamiento y diganme si encuentran errores en el mismo.
Principalmente mis preguntas son: ¿Esta bien que el campo dentro de la esfera sea solamente radial?
¿Esta bien utilizar la ecuación de Laplace para hallar el potencial fuera de la esfera?
¿Esta bien que el campo en la superficie de la esfera tenga solamente componente radial, esto no se aplica unicamente a conductores?
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