Otras carreras Onda plana para un medio dieléctrico

[LauraLopez]

Estoy estudiando el capitulo de ondas, y uno de los temas que debo estudiar es :

- Solucion de onda plana para un medio dielectrico.

Lei algo de esto en el Reitz pero no logro entender de que trata...alguien que sepa explicarlo? creo que se basa en las ecuaciones de maxwell no?

Encontre un apunte

http://www.ing.unlp.edu.ar/camposyo/...P10_parte2.pdf

Donde lo que dice en la pagina 2 creo que es lo que tengo que se pretende que estudie en ese item no? o sea llegar a esas 2 ecuaciones de onda? Si es asi , no logro ver como llega a esas ecuaciones de Maxwell en terminode de E y H.

Luego tampoco entiendo como aplicar el rotor y llega a ese resultado, es una propiedad del rotor esa? como es? y ademas cuando usa la identidad, esa identidad es igual a ( 2 terminos) el primer termino despues no aparece cuando reemplaza porque?
Gracias!

[arivasm]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Como siempre, las cosas dependen del nivel que se exija. De todos modos, lo que aparece en la página 2 se refiere al vacío y no a los medios materiales.

Sí, las ondas electromagnéticas se justifican a partir de las ecuaciones de Maxwell, aunque el tema suele tener dos partes: una de justificación, a partir de dichas ecuaciones, y otra de desarrollo, que suele usar conceptos generales de movimiento ondulatorio, como por ejemplo los desarrollos de Fourier (es decir, expresar las ondas como suma de ondas planas armónicas y monocromáticas -por eso el ítem-).

Si el nivel no hace falta que sea muy alto te bastará con identificar la onda electromagnética plana monocromática en un medio no conductor como descrita por $\vec E(\vec r, t)=\vec E_0\ee^{-\alpha x}\cos(\omega t-k x+\varphi_0)$, donde he descrito el caso particular de una onda que se propaga en el sentido positivo del eje X, y saber que la velocidad de propagación es $c=1/\sqrt{\mu\epsilon}$ y que $\alpha$ es el coeficiente de atenuación.

Por supuesto, eso implica prescindir de montones de detalles importantes, como puede ser la variación de la constante de fase a medida que la onda se propaga...

Con respecto a lo del rotor, ¿exactamente a qué te refieres? ¿A la expresión $\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$? Es algo que se demuestra y que tú misma lo puedes comprobar usando componentes cartesianas; es un tanto laborioso, pero abordable.

Si te refieres a $\vec\nabla\times\vec E=-\mu\partial\vec H/\partial t$ es simplemente una de las ecuaciones de Maxwell (la ley de Ampère generalizada) aplicada al vacío (pues $\vec J=\vec 0$). Igualmente, $\vec \nabla\cdot\vec E=0$ por otra ecuación de Maxwell (la ley de Gauss del campo eléctrico) también aplicada al vacío (donde $\sigma=0$).

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Entonces para entender las ecuaciones de onda en el vacio ( que es lo de la pagina 2) igual como hace para dejar todo en funcion de E y H?

Ademas no entiendo coo obtiene el resultado usando esta identidad :

$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$

El resultado que dice que obtiene luego de usar esa identidad como llega?

[arivasm]

Re: onda plata para un medio dielectrico

La idea de la demostración es la siguiente: parte de la ley de Faraday

$$\dst\vec\nabla\times\vec E=-\mu\frac{\partial \vec H}{\partial t}$$

Aplica el rotacional a ambos miembros

$$\dst\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=-\mu\vec\nabla\times\frac{\partial \vec H}{\partial t}=-\mu\frac{\partial (\vec\nabla\times\vec H)}{\partial t}$$

donde hemos hecho uso de que $\vec\nabla$ es un operador de derivación con lo que conmuta con la derivada respecto del tiempo (es decir, tanto da derivar primero respecto de t y después respecto de x, y o z -que son las derivadas que aparecen en los rotacionales- que derivar primero respecto de x, y o z y después derivar respecto de t).

Luego aplica que

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$$

Pero por el teorema de Gauss para el vacío

$$\vec\nabla\cdot\vec E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}=0$$

(pues en el vacío no hay cargas, y entonces $\sigma=0$) con lo que (3) será

$$\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)=-\nabla^2\vec E$$

Si lo llevamos a (2) tenemos

$$\nabla^2\vec E=\mu\frac{\partial (\vec\nabla\times\vec H)}{\partial t}$$

Ahora usaremos la ley de Ampère generalizada aplicada al vacío (donde $\vec J=\vec 0$):

$$\vec\nabla\times\vec H=\vec J+\epsilon\frac{\partial\vec E}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$

con lo que (6) nos queda

$$\nabla^2\vec E=\mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$$

Esta fórmula ya es de por sí una expresión que indica el comportamiento ondulatorio. Para verlo consideremos un caso sencillo: imaginemos que tenemos un campo eléctrico tal que sólo posea componente z, y que además sólo puede depender de la dirección x. La ecuación (6) equivaldría a decir que

$$\dst\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}=\mu\epsilon\frac {\partial^2 E_z}{\partial t^2}$$

Es muy sencillo ver (sólo hay que hacer las derivadas) que una posible solución de esta ecuación será de la forma

$$E_z(x,t)=E_0\sin(\omega t\pm k x+\theta_0)$$

siempre y cuando se cumpla que

$$\dst\frac{\omega}{k}=c=\frac{1}{\mu\epsilon}$$

Por supuesto, esto último no es un razonamiento general y por eso el texto que indicas lo detalla con más calma.

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

ahi entiendo un poco mas. Lo que no entiendo es de donde salen esas ecuaciones de maxwell, cuando yo estudie las ecuaciones de Maxwell no llegue a esas mismas que estas usando....

Por ejemplo la tercer ecuacion de Maxwell que es la de Faraday- Lenz es : $\dst \vec{\nabla}\times\vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t }$ como llego a esa que vos usas?

Las primeras 4 que da el apunte son las que yo conozco, las otras 4 que da no se como las obtiene.....

[arivasm]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Recuerda que $\vec H=\frac{1}{\mu}\vec B$ y que $\vec D=\epsilon \vec E$.

De todos modos, no te costará repetir el razonamiento anterior usando las ecuaciones de Maxwell que ya conoces (es decir, con $\vec E$ y $\vec B$). De hecho, yo empleé E y H simplemente por seguir el texto que has puesto. Personalmente prefiero E y B.

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

En realidad $\dst \vec{H} = \frac{1}{\mu_0 } \vec{B} - \vec{M}$ porque asumis que M=0 ? es porque estamos en el vacio? igualmente supongo que quisiste poner que $\dst \vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ no? porque no pones el subindice cero?

[arivasm]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Desde luego en el vacío $\vec M=\vec 0$. De todos modos, la relación (al menos en medios lineales) entre B y H es $\vec B=\mu\vec H$ que en el vacío será $\vec B=\mu_0\vec H$. Por cierto, antes me confundí al escribir la relación entre B y H (lo acabo de corregir).

La razón de no poner el subíndice 0 fue diferente en el post #4 (ahí era simplemente por ajustarme el pdf que indicaste) que en el #6. En este último era porque $\vec B=\mu\vec H$ sí es una relación general (de hecho es la definición de permeabilidad de un medio material). Por cierto, por si te lo estás preguntando, en los medios no lineales lo único que cambiará es que $\mu$ será una matriz en lugar de un vector.

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

...pero aca justamente no estamos demostrando la solucion de ondas planas para el vacio? por ende no hay que usar los subindices 0? que son los que representan el vacio? no entiendo porque usas el mu generico y no el $\mu_0$ que seria el que corresponde al vacio

[arivasm]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Como te decía, en el post #4 sí debí haber puesto los subíndices 0 (no lo hice porque tu pregunta era sobre cómo hacían en un texto que no los pone). En el post #8 te decía que en general será $\vec B=\mu \vec H$; por supuesto, en el vacío será $\vec B=\mu_0 \vec H$. En este último caso, sólo era para recordarte que, aunque tenías razón cuando decías que $\vec H=\frac{1}{\mu_0}\vec B-\vec M$ también es $\vec H=\frac{1}{\mu}\vec B$.

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Con respecto a la solucion de onda plana para un medio dielectrico entonces la solucion es esta ? :

$\vec E(\vec r, t)=\vec E_0\ee^{-\alpha x}\cos(\omega t-k x+\varphi_0)$

la letra E representa el campo electrico no? porque depende del campo electrico y no del magnetico?

no deberia tener que encontrar una ecuacion al estilo de la que encontramos para el vacio? o sea algo como esto:

$\nabla^2\vec E=\mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$
[FONT=Verdana]
o sea una solucion sin cosenos o senos...

[/FONT]

[Breogan]

Re: onda plata para un medio dielectrico

Hola:

La ecuación a la que llegas con las ecuaciones de Maxwell es la 2º, una ecuacion diferencial de 2º orden, que para el caso de materiales dieléctricos es:

$\dst \nabla^2\vec E=\mu\epsilon\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}$

La solución de onda plana parte de la limitación de imponer que el campo eléctrico en cualquier punto del espacio tiene la misma dirección y la dirección de propagación es normal a la dirección del campo, es decir:

$\vec E\ =\ E_x\ \hat{\imath}\ +\ E_y\ \hat{\jmath}\ +\ E_z\ \hat{k}$

Si
$E_y\ \neq\ 0\ \ \ y\ \ \ E_x\ =\ E_z\ =\ 0$
y
$\dst \frac{\partial E_y}{\partial x}\ \neq\ 0\ \ \ y\ \ \ \frac{\partial E_y}{\partial y}\ =\ \frac{\partial E_y}{\partial z}\ =\ 0$

La ecuación diferencial de onda (muchos la llaman ecuación de onda a secas) para ondas planas queda:

$\dst \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}=\mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}$

Una solución particular de esta ecuación son las funciones armónicas seno y coseno.

En el caso que estuvieras un medio dielectrico, la solución la podes escribir:

$E_y(x,t)\ =\ A\ \ee^{-\alpha x}\ cos(kx-\omega t+\varphi_0)$

Todas las constantes dependen de la como se genera la onda (el tema de generación se ve mas adelante), por ahora te las dan como dato, explicito o implícito.
A la constante A se la llama $E_0$ porque es el valor constante que representa la amplitud de la onda del campo electrico.

Suerte

PD: me olvide de aclarar que si, E y H dependen uno del otro a través de las ecuaciones de Maxwell.

Por ejemplo: si te dan la ecuación del campo eléctrico de una onda plana, el correspondiente campo magnético lo hallas con Maxwell:

$\dst \vec {\nabla} \times \vec E\ =\ -\mu\ \frac{\partial \vec H}{\partial t}$

y viceversa.

Suerte

[LauraLopez]

Re: onda plata para un medio dielectrico

mmm esto que me decis me genera muchas dudas nuevas , se ve que no entiendo bien...ahi abro un nuevo hilo donde planteo bien las dudas