1r ciclo Movimiento armónico simple a causa de fuerza eléctrica

[gdonoso94]

Hola, he estado haciendo algunos problemas bastante básicos de electrostática, y hay uno que no consigo hacer, ya que se mezcla con MAS.
El problema es el siguiente:



La solución según el libro es:

$$\dst f = \sqrt{\frac{k Q q}{m \pi^2 a^3}}$$

En cambio yo obtengo:

$$\dst f = \sqrt{\frac{k Q q}{m \pi^2 a^2}}$$

Mi planteamiento es este. Partiendo de la 2ª ley de Newton:

$$\sum{F} = m \ddot{x}$$

$$\sum{F} = \frac{k Q q}{(a - x)^2 } - \frac{k Q q}{(a + x)^2} = m \ddot{x}$$

Utilizando la aproximación que dice el enunciado obtengo que:

$$(a + x)^2=a+2x+\frac{2x^2}{2 }...$$

$$(a - x)^2=a-2x+\frac{2x^2}{2 }...$$

Al ser $x^2$ muy pequeño lo desprecio y obtengo que:

$$\dst \sum{F} = k Q q (\frac{1}{(a+2x) } - \frac{1}{(a-2x)}) = m \ddot{x}$$

Operando y simplificando:

$$\dst k Q q (\frac{a+2x-a+2x}{a^{2}-4x^2 })=k Q q \frac{4}{a^2 } x = m \ddot{x}$$

(He vuelto a despreciar el $x^2$ por ser muy pequeño).

Aislo $\ddot{x}$:

$$\dst \ddot{x}= \frac{4 k Q q }{m a^2 } x$$

De donde obtengo que $\dst \omega= \sqrt{\frac{4 k Q q }{ m a^2}}$, y por tanto $\dst f = \sqrt{\frac{k Q q}{m \pi^2 a^2}}$

¿Dónde está el fallo?

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Movimiento armónico simple a causa de fuerza eléctrica

Tu fallo está en que aproximas muy a lo bestia. En el enunciado te dan la aproximación para $(1+z)^n$, para pequeños valores de $z$, que es bien distinto a $(a+x)^2$. Haciendo $(a+x)^2=a^2\left( 1+\dfrac x a \right)^2$, ya queda algo que se asemeja más al binomio que te dan para desarrollar, y si no me he equivocado operando llegarás a la dependencia con $a^{-3}$.

¡Saludos!

[gdonoso94]

Re: Movimiento armónico simple a causa de fuerza eléctrica

Dios, 2 horas mirando el problemita y lo sacas en un momento el fallo...

Muchas gracias tío!

[wanchufri]

Re: Movimiento armónico simple a causa de fuerza eléctrica

También puedes ver desde dónde arrastras el fallo cuando haces el análisis dimensional que a partir de las ecuaciones (5) y (6) no cuadra!

[gdonoso94]

Re: Movimiento armónico simple a causa de fuerza eléctrica

Muchas gracias Wanchufri, me fijaré más en las unidades también, aunque no me resuelva el ejercicio!