1r ciclo [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

[Migox]

¡Ayuda!

Necesito saber como hallar el campo eléctrico en el cascaron, pero no tengo muy claro el procedimiento; el detalle es que debo hacerlo por el método de integración de cargas puntuales (Esto es, sin aprovechar la ley de Gauss).

El problema es este:
http://img12.imageshack.us/img12/4503/lowzp.jpg

Y hasta ahora voy así:

http://img841.imageshack.us/img841/7852/low2k.jpg

Fallo en saber como debo considerar el ancho del elemento diferencial para hallar su cantidad de carga y poder integrar.

Muchas gracias.

[Al2000]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

El campo que produce un anillo de carga uniformemente distribuida $Q$ y radio $R$ en un punto sobre su eje a la distancia $z$ del plano del anillo, viene dado por

$$E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \frac z {(z^2 + R^2)^{3/2}}$$

Divide la esfera en anillos como en este gráfico (es un gráfico de un problema de flujo eléctrico, de manera que ignora el campo y el vector $d \boldsymbol S$ y observa solamente el anillo):



Deberás resolver la integral

$$E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \int \frac z {(z^2 + r^2)^{3/2}}\, dq$$

donde el radio $r$ del anillo vale $r = R \, \mathrm {sen} \, \theta$ como muestra el dibujo y la distancia $z$ desde el anillo al punto de coordenada $x$ es $z = x - R \cos \theta$. La carga $dq$ del anillo la calculas como $dq = \sigma \,ds$, siendo $\sigma$ la densidad de carga superficial que en tu caso es la carga de la esfera dividida entre su área: $\dst \sigma = \frac Q {4 \pi R^2}$. El área $ds$ del anillo es su perímetro $2 \pi r = 2 \pi R \, \mathrm {sen} \, \theta$ multiplicado por su ancho $R\, d \theta$. Pon todo junto en (2) y resuelve.

Puedes echar una mirada a este hilo. En particular en el mensaje #10 conseguirás la misma integral que te quedará en este problema, salvando el cambio en la notación.

Bueno, te dejo eso para que te diviertas. Saludos,

Al

[Migox]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Muchas gracias por tu respuesta.

Siguiendo el procedimiento, llego a este punto; busco alguna manera de dejar [FONT=arial]θ como única variable pero R me estorba; la idea es evitar una integral doble:
[/FONT]




Y mi otra duda, ¿He de usar limites de integración? [FONT=arial]θ comienza en o` y termina en o`.

Gracias. [/FONT]

[Al2000]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Vuelve a plantear el problema. No uses como ángulo uno externo al cascarón, pues el ancho del elemento de superficie no será un arco circular y no puedes decir que vale $R, d \theta$. Usa como variable el ángulo formado con el centro del cascarón, como en el dibujo que subí en mi mensaje anterior.

[Migox]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

¿Te refieres a un planteamiento así?


Así da mas miedo

[Al2000]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Si, pero plantea el asunto en función del ángulo en el centro del cascarón. Cuando lo hagas, los límites de integración irán desde 0 hasta $\pi$.

[Migox]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Vi el problema en el tomo I Alonso-Finn, es una ventaja que las leyes sean tan análogas.

De momento comparare los problemas y volveré si no lo consigo resolver.

Gracias por tan útil orientación.

[Migox]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Bien, habiendo entendido ya el por que de los cambios de variables y resuelto el problema, traigo dudas acerca del potencial eléctrico.

La respuesta al problema es:

$E=\frac { 1 }{ 144\pi \varepsilon } \frac { Q }{ { R }^{ 2 } }$

Me mandan a hallar el potencial eléctrico en ese punto. Según indicaciones de mi profesor, la formula 'Generica' o "Rapida" es:

$V=\frac { 1 }{ 4\pi \varepsilon } \frac { Q }{ { R } }$

Donde R es la distancia desde la carga. En este caso, como la distancia es 6R, el potencial vendría dado por:

$V=\frac { 1 }{ 24\pi \varepsilon } \frac { Q }{ { R } }$

Esta es la respuesta según el profesor.

Hay dos métodos para hallar el potencial. El primero es utilizar la relación gradiente entre un vector y un escalar, la otra es la definición de potencial como trabajo hecho para mover en equilibrio una carga de prueba.

Utilizando el segundo método, me imagino un punto A en el infinito (Supuesto V=0) y calculo el trabajo necesario para mover la carga hasta el punto P. (Donde calculé el valor de E)



${ W }_{ AP }=\int _{ A }^{ P }{ F*dl*Cos(Angulo\quad entre\quad E\quad y\quad desplazamiento)\quad }$

Debido a que dl va en contra del sentido en el que R aumenta:

dR=-dl

La Fuerza aplicada para mover la carga en equilibrio es:

F=-qE

---

${ W }_{ AP }=\int _{ A }^{ P }{ F*dl*Cos(180`)\quad } <br />$

${ W }_{ AP }=\int _{ A }^{ P }{ F*dl*-1\quad }$

${ W }_{ AP }=\int _{ A }^{ P }{ { -q }_{ 0 }E*dl*-1\quad }$

${ W }_{ AP }=\int _{ \infty }^{ 6R }{ { -q }_{ 0 }E*-dR*-1\quad }$

${ W }_{ AP }={ -q }_{ 0 }\int _{ \infty }^{ 6R }{ E*dR }$

${ W }_{ AP }={ -q }_{ 0 }\int _{ \infty }^{ 6R }{ \frac { Q }{ 144\pi { \varepsilon }_{ 0 }{ R }^{ 2 } } *dR }$

${ W }_{ AP }={ -q }_{ 0 }\frac { Q }{ 144\pi \varepsilon } \int _{ \infty }^{ 6R }{ \frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } *dR }$

${ W }_{ AP }={ -q }_{ 0 }\frac { Q }{ 144\pi \varepsilon } \left[ -\frac { 1 }{ 6R } +\frac { 1 }{ \infty } \right]$

${ W }_{ AP }={ q }_{ 0 }\frac { Q }{ 864\pi \varepsilon R }$

${ V }_{ p }={ q }_{ 0 }\frac { Q }{ 864\pi \varepsilon R{ q }_{ 0 } }$

---

Y finalmente:

${ V }_{ p }=\frac { Q }{ 864\pi \varepsilon R }$

Debido a la discrepancia pregunto, ¿Donde esta mi error?

OFFTOPIC: ¿Como aumento el tamaño de la fuente en código LATEX?

Gracias.

[Al2000]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Apartando cuestiones de notación (estás mezclando indiscriminadamente constantes con variables), tu principal error es el valor del campo. El campo en puntos exteriores al cascarón vale $\dst E_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2}$. Por el valor que estás poniendo el la integral, me da la impresión que estás usando el campo a la distancia $r = 6 R$, el cual vale en efecto $\dst E_{(6 R)} = \frac 1 {144 \pi \epsilon_0} \frac Q {R^2}$, pero tienes que darte cuenta de que ese es el campo a la distancia $6R$ del centro del cascarón y en la integral debes usar el valor del campo en cualquier punto exterior.
Saludos,

Al

[Migox]

Re: [Campo Eléctrico] Cascaron esférico cargado no conductor.

Apartando cuestiones de notación (estás mezclando indiscriminadamente constantes con variables)

¿Lo dices por que anoto las constantes dentro de las integrales? Lo hago para tratar de ser lo mas claro posible. Lo demás ya lo he entendido todo,


Gracias de nuevo por todos tus mensajes.