Divulgación Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

[Alekzander]

he decidido hacer publica la solucion al siguiente ejercicio dado que en los inicios de mi carrera, tuve que enfrentarme ante ejercicios similares a este y la documentacion que encontre en aquellos tiempos no era muy clara, esta es una de las tantas soluciones posibles; si he fallado en algo favor corregirme.

"calcule el potencial electrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura, el cual tiene una densidad de carga uniforme ${\sigma}$"



solucion:

la expresion de potencial electrico se define como:

${dV}={k}\frac{{dq}}{r}$

pero el ejercicio nos indica que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie del anillo por lo tanto:

${dq}=\frac{\sigma}{ds}$

por lo que ahora nuestra expresion de potencial queda de la siguiente forma

${dV}={k}\frac{{\sigma}{ds}}{r}$

donde ${\sigma}$ es el diferencial de superficie del elemento de carga ${dq}$

haciendo uso de las coordenadas cilindricas se elige un diferencial de superficie apropiado, en este caso ${ds}={r}{dr}{d}{\phi}$

ahora reemplazamos estos valores en la expresion de potencial quedando una expresion aparentemente mas compleja

${dV}= {k} \frac{{\sigma}{r}{dr}{d}{\phi}}{r}$

hay que aclarar que la ${r}$ del denominador es la distancia desde el elemento diferencial de carga hasta el punto P por lo que
${r}= {({x}^{2}+{r}^{2})}^{\frac{1}{2 } }$, supongo que habra alguien que no visualice de donde salio esta distancia, bueno volviendo al caso del elemento diferencial de carga "dq" este se encuentra a una distancia radial r del centro del eje y a su vez esta a una cierta distancia del punto P la que se determina aplicando el teorema de pitagoras.

${dV}= {k}\frac{{\sigma}{r}{dr}{d}{\phi}}{\sqrt{{x}^{2 }+{r}^{2 }}}$

ahora para encontrar el potencial neto integramos en ambos lados de la ecuacion:

$\int{dv}={{\int_{0}^{2\pi}}{\int_{r}^{R}{{k}\frac{{\sigma}{r}{dr}{d}{\phi}}{\sqrt{{x}^{2 }+{r}^{2 }}}}}}$

${V}= {k}{{\int_{0}^{2\pi}}{\int_{r}^{R}{\frac{{\sigma}{r}{dr}{d}{\phi}}{\sqrt{{x}^{2 }+{r}^{2 }}}}}}$

$\sigma$ es una constante que puede salir de ambas integrales, ${d}\phi$ es la variacion del angulo acimutal que esta definido
entre ${0}{\leqslant}{\phi}{\leqslant}{2\pi}$, por lo que la expresion nos queda de la siguiente forma:

${V}={k}{\sigma}{2\pi}{\int_{r}^{R}{\frac{{r}{dr}}{\sqrt{{x}^{2 }+{r}^{2 }}}$

para integrar se puede usar el metodo de sustitucion de variables donde:

${U}=({x}^{2}+{r}^{2})$

por lo que ${d}{U}={2}{r}{dr}$ realizando las sustituciones correspondientes en la integral nos queda la siguiente expresion:

${V}={k}{\sigma}{2\pi}{\int_{r}^{R}(\frac{dU}{2\sqrt{U}})$

en la expresion ala izquierda de la integral tenemos ${k}{\sigma}{2\pi}$ que es lo mismo que decir $\frac{\sigma}{2\epsilon}$
realizando esta ultima sustitucion y acomodando los terminos dentro de la integral nos queda que el potencial es igual a:

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon}{\int_{r}^{R}{{U}^{\frac{-1}{2 } }{\frac{dU}{ 2}}}$


${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon}{\int_{r}^{R}{{U}^{\frac{-1}{2 } }{dU}}$

al resolver esta intregal nos queda una expresion de la siguiente forma

${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon} {2}[\sqrt{U}]{\right |_r^R}$

pero como ${U}=({x}^{2}+{r}^{2})$ entonces

${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon} {2}[\sqrt{({x}^{2}+{r}^{2})}]{\right |_a^b}$

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon} [\sqrt{({x}^{2}+{r}^{2})}]{\right |_a^b}$

bueno hasta aqui mi aporte espero sugerencias al respecto esto a sido todo por hoy

saludes

- - - Actualizado - - -

nota: tuve que realizar unas correcciones en lo ultimo de la resolucion,pero que aparentemente no se guardaron por lo cual a qui les dejo su continuacion:

en la expresion ala izquierda de la integral tenemos ${k}{\sigma}{2\pi}$ que es lo mismo que decir $\frac{\sigma}{2\epsilon}$
realizando esta ultima sustitucion y acomodando los terminos dentro de la integral nos queda que el potencial es igual a:

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon}{\int_{r}^{R}{{U}^{\frac{-1}{2 } }{\frac{dU}{ 2}}}$


${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon}{\int_{r}^{R}{{U}^{\frac{-1}{2 } }{dU}}$

al resolver esta intregal nos queda una expresion de la siguiente forma

${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon} {2}[\sqrt{U}]{\right |_r^R}$

pero como ${U}=({x}^{2}+{r}^{2})$ entonces

${V}=\frac{\sigma}{4\epsilon} {2}[\sqrt{({x}^{2}+{r}^{2})}]{\right |_a^b}$

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon} [\sqrt{({x}^{2}+{r}^{2})}]{\right |_a^b}$

bueno hasta aqui mi aporte espero sugerencias al respecto esto a sido todo por hoy

saludes

[sater]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

Gracias, aun no he mirado a fondo el tema del potencial integrando cosas algo mas interesantes (estoy en segundo de bachiller y no se profundiza) lo he visto solo por mi cuenta con el campo eléctrico a secas, pero es algo pendiente por hacer en mis próximas solitarias incursiones por el ultimo libro que adquirí, y probablemente visite este post para el primer ejercicio que me encuentre de este tipo (no tiene buena pinta este tipo de ejercicio, la verdad) y solo me queda ya por animarte a que lo conviertas en un artículo o algo, porque a mi entender al estar en un post es como algo a debatir no se es una sensación propia, pero pienso sinceramente que en un blog quedaría mejor (quizás me equivoque)
gracias y un saludo

[javier m]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

he decidido hacer publica la solucion al siguiente ejercicio dado que en los inicios de mi carrera, tuve que enfrentarme ante ejercicios similares a este y la documentacion que encontre en aquellos tiempos no era muy clara, esta es una de las tantas soluciones posibles

Creo que es díficil que alguien que no sepa resolver este problema entienda tu solución, sin ofender claro

Lo que pasa es que haces un juego con las "r"s y las "R"s que es díficil de comprender, como cuando pones ${dV}= {k} \frac{{\sigma}{r}{dr}{d}{\phi}}{r}$, siendo la r del denominador distinta a la del numerador, después tomas a una "r" como si fuese el radio interno del anillo pero a lo ultimo pones que el interno es "a" lo que es confuso (lo mismo haces con "b" y "R")

Además deberías colocar un dibujo porque cuando a uno le hablan de anillos en electro supone comunmente que el grosor del anillo es despreciable

Saludos

[Alekzander]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

estas en lo cierto javier, de hecho yo mismo observe ese detalle y pense lo mismo que tu. con lo de la suposicion de que el anillo tenga un grosor despreciable, bueno quizas la mejor solucion sea considerarlo como un disco hueco; en realidad lo que hice fue tomar el enunciado en su forma integra, la imagen me la busque para relacionarla con el ejercicio. agradezco tus observaciones las tendre muy encuenta

saludes

[Breogan]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

Hola:

Me solidarizo con lo dicho por javier m, a parte de confuso hay partes que están decididamente mal. No he podido seguir el desarrollo de la solucion del problema, demasiado confuso para mi.

No busque la solucion de este problema, pero la formula:

donde creo que x representa la distancia del punto P al centro del anillo (es lo mismo si fuera r) indica que el potencial crece (en modulo) cuanto mas nos alejamos del centro del anillo. Esto no puede estar bien.

Seria bueno que revises el post y agregues las correcciones pertinentes, tene en cuenta que los post son permanentes y quedan para ser vistos por futuros usuarios que quieran informacion sobre este problema.

Si necesitas ayuda todos los foreros te van a prestar su ayuda dentro de sus posibilidades.

Suerte

[Alekzander]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

estimado breogan

como bien has dicho al alejarte mas del centro del disco hueco, el modulo aumenta en magnitud, sin embargo esto no implica que el potencial para puntos lejanos tenga que aumentar.

si ${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon} [\sqrt{({x}^{2}+{r}^{2})}]{\right |_a^b}$

esto es lo mismo que decir

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon}[{\sqrt{({x}^{2}+{b}^{2})}}-{\sqrt{({x}^{2}+{a}^{2})}}]$

ahora hagamos la suposicion de que el punto P se aleja considerablemente con respecto al centro del disco hueco tanto que los radios "a" y "b" son despreciables en comparacion con "X" entonces tendriamos que:

${V}=\frac{\sigma}{2\epsilon}[{\sqrt{({x}^{2})}}-{\sqrt{({x}^{2})}}]$


y como podras constatar el potencial tiende a cero a medida que el punto P se hace distante del centro del disco.


saludes

[Breogan]

Re: Potencial Electrico Sobre el Eje de un Anillo

Hola:

Tenes razón, disculpa mi desprolijidad en el análisis de la ecuación.

Sin entrar en detalle en el análisis de la ecuación que vos encontraste para el potencial eléctrico de la corona, si te acercas al infinito ($x\to\infty)$, el potencial se debe aproximar al de una carga puntual $\dst V=\frac 1 {4 \pi \varepsilon_0} \frac Q x$ debido a que es una distribucion de carga finita, no? donde $Q=\sigma S$

Suerte