Divulgación Fuerza Electrostatica entre Dos barras Cargadas Uniformemente

[Alekzander]

-barras delgadas identicas de longitud 2a conducen cargas iguales +Q distribuidas de manera uniforme a lo largo de sus longitudes. las barras descansan sobre el eje X con sus centros separados por una distancia b>2a demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra izquierda sobre la de la derecha esta dada por

${F}={\dst\frac{{ke}{Q^2}}{4a^2}}{ln}{\dst[\frac{b^2}{b^2-4a^2}]}$





solucion.

1. primero debemos encontrar el campo electrico en el punto P, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga dq de la barra izquierda, cuya distribucion es lineal uniforme por lo tanto:

${\lambda}=\dst\frac{Q}{L }=\dst\frac{Q}{2a}=\dts\frac{dq}{dx}$
${dq}=\dst\frac{Q}{2a}{dx}$

2. el campo electrico debido a este elemento diferencial se denota como:
${dE}=\dst{ke}\frac{{dq}}{x^2}{\hat{\imath}}$

${dE}=\dst{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

3. integramos en mabos lados de la ecuacion para obtener el campo neto debido a la contribucion de todos los elementos diferenciales de carga

$\dst\int{dE}=\dts\int{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

4. ahora debemos determinar los limites de integracion para la integral de la derecha, llamemos "d" a la distancia que se encuentra el punto P
del extremo derecho de la barra izquierda y "d+2a" a la distancia que separa al punto P del extremo izquierdo de dicha barra, por lo tanto

$\dst\int{dE}=\dts\int_{d}^{d+2a}{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{2a}\dst\int_{d}^{d+2a}\frac{dx}{x^2}$

al resolver esta integral nos queda la siguiente expresion:

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{2a}{\left[{-}\frac{1}{x}\right]_{d}^{d+2a}}$

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{2a}{\left[{{-}\frac{1}{d+2a}}{-}({{-}\frac{1}{d}})\right]}$

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{2a}{\left[ {\frac{1}{d}}{-}{\frac{1}{d+2a}}\right]}$

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{{d}(d+2a)}$

5. ahora que ya conocemos el campo electrico utilizamos la expresion de fuerza electrica, para un elemento diferencial de carga

$\dst{dFe}=\dst{E}{dq}$

por lo tanto

$\dst{dFe}=\dst\frac{keQ}{{d}(d+2a)}{dq}$

dado que las barras son identicas y con igual distribucion uniforme de carga se tiene que ${dq}=\dst\frac{Q}{2a}{dx}$

$\dst{dFe}=\dst{\frac{keQ}{{d}(d+2a)}}{\dst\frac{Q}{2a}{dx}}$

$\dst{dFe}=\dts{\frac{keQ^2}{2a}{\frac{dx}{d(d+2a)}}$

6. para encontrar la fuerza electrostatica debido a la contribucion de todos los elementos diferenciales de la barra derecha, integramos en ambos
lados de la ecuacion.

$\dst\int{dFe}=\dst\int{\frac{keQ^2}{2a}{\frac{dx}{d(d+2a)}}$

7. hay que recordar que cuando se calculo el campo lo hicimos tomando "d" como la distancia entre el punto "P" donde inicia la barra derecha y el extremo derecho de la barra izquierda, dado que ahora integraremos sobre cada elemento diferencial de la barra derecha resulta combeniente cambiar dicha variable por "x" por lo cual nuestra expresion quedara de la siguiente forma:

$\dst\int{dFe}=\dst\frac{keQ^2}{2a}\int{\frac{dx}{x(x+2a)}}$

$\dst\int{dFe}=\dst\frac{keQ^2}{2a}\int_{b-2a}^{b}{\frac{dx}{x(x+2a)}}$

8. para resolver esta integral debe recurrirse al metodo de las fracciones parciales, con lo cual se obtendra una expresion de la siguiente forma

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{2a}\int_{b}^{b-2a}({\frac{1}{2ax}}-{\frac{1}{2a(x+2a)}}){dx}$

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{2a}\dst{\left[{\int_{b}^{b-2a}{\frac{dx}{2ax}}}-{\int_{b}^{b-2a}{\frac{dx}{2a(x+2a)}}}\right]}$

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{4a^2}\dst{\left[ {\int_{b}^{b-2a}{\frac{dx}{x}}-{\int_{b}^{b-2a}{\frac{dx}{(x+2a)}}}\right]}$

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{4a^2}\dst\left({\left[ ln{\left\vert{}x\right\vert{}} \right]_{b-2a}^{b}-{\left[ ln{\left\vert{}x+2a\right\vert{}}\right]_{b-2a}^{b}}}\right)$

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{4a^2}\dst\left( {ln\left[ \frac{b}{b-2a}\right]}-{ln\left[ \frac{b+2a}{b}\right]}\right)$

9. por lo tanto

$\dst{Fe}=\dst\frac{keQ^2}{4a^2}\dst{ln}{\left[ \frac{b^2}{b^2-4a^2} \right]}$


saludes

[Al2000]

Re: Fuerza Electrostatica entre Dos barras Cargadas Uniformemente

-barras delgadas identicas de longitud 2a conducen cargas iguales +Q distribuidas de manera uniforme a lo largo de sus longitudes. las barras descansan sobre el eje X con sus centros separados por una distancia b>2a demuestre que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra izquierda sobre la de la derecha esta dada por

${F}={\dst\frac{{ke}{Q^2}}{4a^2}}{ln}{\dst[\frac{b^2}{b^2-4a^2}]}$





solucion.

1. primero debemos encontrar el campo electrico en el punto P, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga dq de la barra izquierda, cuya distribucion es lineal uniforme por lo tanto:

${\lambda}=\dst\frac{Q}{L }=\dst\frac{Q}{2a}=\dts\frac{dq}{dx}$
${dq}=\dst\frac{Q}{2a}{dx}$

2. el campo electrico debido a este elemento diferencial se denota como:
${dE}=\dst{ke}\frac{{dq}}{x^2}{\hat{\imath}}$

${dE}=\dst{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

3. integramos en mabos lados de la ecuacion para obtener el campo neto debido a la contribucion de todos los elementos diferenciales de carga

$\dst\int{dE}=\dts\int{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

4. ahora debemos determinar los limites de integracion para la integral de la derecha, llamemos "d" a la distancia que se encuentra el punto P
del extremo derecho de la barra izquierda y "d+2a" a la distancia que separa al punto P del extremo izquierdo de dicha barra, por lo tanto

$\dst\int{dE}=\dts\int_{d}^{d+2a}{ke}\frac{Q}{2ax^2}{dx}$

$\dst{E}=\dst\frac{keQ}{2a}\dst\int_{d}^{d+2a}\frac{dx}{x^2}$

...

Disculpa, tienes una confusión entre la posición del diferencial de carga y la distancia desde esta carga hasta el punto en donde estás calculando el campo. Aceptando el dibujo con el que acompañas el cálculo y la definición de "d" que das en el punto 4, la distancia desde un elemento de carga en la posición $x$ hasta el punto P sería $d + a - x$, donde $x$ toma todos los valores desde $-a$ hasta $a$. Entonces, el campo a la distancia $d$ del extremo derecho de la varilla sería

$$E = \frac {k_E Q}{2 a} \int_{-a}^{a}\! \frac {dx}{(d + a - x)^2}$$

En el cálculo tal cual lo planteaste, estarías calculando el campo en el origen de coordenadas, producido por una varilla que abarca desde la coordenada $x = d$ hasta la coordenada $x = d + 2 a$, y la integral debería ir precedida de un signo negativo, pues en ese caso el campo apuntaría en el sentido negativo de las $x$.

El resto no lo miré, de modo que no lo comento.

Saludos,

Al